一、地图投影的基础理论

1.1 大地水准面

大地水准面是地球重力场的等位面或水平面。想象一下海洋仅受重力的影响静止不动，而不受潮汐力和大气力的影响。隧道还用于连接海洋，以便海水能够自由流动。生成的表面是大地水准面的表现形式。大地水准面约等于平均海平面 (MSL)，通常与当地平均海平面有约一米的误差。它是一个复杂的形状。大地水准面受地球构造的影响，因此其坡度可能会不连续。这意味着该表面是与椭球体等数学表面相对的分析表面。大地水准面通常与地心水平大地基准面有不超过 100 米的误差。例如，在英国，大地水准面与水平基准面 (OSGB36) 相差不超过 5 米。

在上图中，绿色线代表大地水准面。它的曲线大致遵循地形的走向。虚线代表旋转椭球体的表面。“h” 是高出旋转椭球体或椭球体的高度 (HAE)。在本例中，高度是负值。“N” 代表大地水准面波动，它是旋转椭球体表面与大地水准面之间的距离。“H” 代表正高，它与旋转椭球体高度的关系如下所示：

h = H + N

1.2 椭球体

椭球体是通过二维椭圆创建的三维形状。椭圆是扁平化的圆形，具有一个长轴（较长的轴）和一个短轴（较短的轴）。如果旋转椭圆，旋转所形成的形状即为椭球体。椭圆中长半轴是长轴长度的一半。短半轴是短轴长度的一半。对于地球，长半轴是从地心到赤道的半径，短半轴是从地心到极点的半径。长半轴和短半轴的长度是区别椭球体的特征。

1.2.1 旋转椭球体和球体

地理坐标系表面的形状和大小由球体或旋转椭球体定义。尽管地球最适合用旋转椭球体表示，但有时将地球视作球体可使数学计算更为简便。对于小比例尺地图（小于 1:5,000,000）来说，可以将地球假设为球体。采用这种比例尺时，在地图上察觉不出球体与旋转椭球体的区别。但是，为了保证大比例尺地图（比例尺为 1:1,000,000 或更大）的精度，必须使用旋转椭球体表现地球的形状。在这种比例尺中，选择使用球体还是旋转椭球体取决于地图的用途以及数据的精度。

1.2.1.1 旋转椭球体的定义

球体以圆为基础，而旋转椭球体（或椭球体）以椭圆为基础。

椭圆形状由两个半径定义。较长的半径称为长半轴，而较短的半径称为短半轴。

将椭圆绕短半轴旋转将生成旋转椭球体。旋转椭球体也称为旋转扁椭球体。下图显示了旋转椭球体的长半轴和短半轴。

旋转椭球体由长半轴 a 和短半轴 b 定义，或者由 a 和扁率定义。扁率是两个轴长度的差异，以分数或小数表示。扁率 f 的计算公式如下：

f = (a - b) / a

扁率是一个较小的值，因而通常采用的是量 1/f。以下是 1984 世界坐标系（WGS 1984 或 WGS84）的旋转椭球体参数：

a = 6378137.0 meters
b = 6356752.31424 meters
1/f = 298.257223563

扁率取值范围为 0 到 1。扁率值 0 表示两个轴相等，即球体。地球扁率约为 0.003353。另一个用来描述旋转椭球体形状的量（类似扁率）是偏心率的平方 e2。其计算公式如下：

1.3 基准面

基准面构建于所选椭球体之上，它可以包含局部高程变化。由于椭球体由椭圆旋转形成，因此得到的整个地球表面都是完全平滑的。但是这样并没有真实地反映实际情况，所以局部基准面可以包含局部高程变化。

当一个旋转椭球体的形状与地球相近时，基准面用于定义旋转椭球体相对于地心的位置。基准面给出了测量地球表面上位置的参考框架。它定义了经线和纬线的原点及方向。

当更改基准面或修正基准面时，地理坐标系（数据的坐标值）将发生改变（应为原点、反向不同）。

1.3.1 地心基准面

在过去的 15 年中，卫星数据为测地学家提供了新的测量结果，用于定义与地球最吻合的、坐标与地球质心相关联的旋转椭球体。地球中心（或地心）基准面使用地球的质心作为原点。最新开发的并且使用最广泛的基准是 WGS 1984。它被用作在世界范围内进行定位测量的框架。

1.3.2 区域基准面

局域基准面是在特定区域内与地球表面极为吻合的旋转椭球体。旋转椭球体表面上的点与地球表面上的特定位置相匹配。该点也被称作基准面的原点。原点的坐标是固定的，所有其他点由其计算获得。

区域基准面的坐标系原点不在地心上。区域基准面的旋转椭球体中心距地心有一定偏移。因为区域基准面的旋转椭球体只与地表某特定区域吻合得很好，所以它不适用于该区域之外的其他区域。

二、地图投影

2.1 什么是地图投影

地图投影是利用一定数学法则把地球表面的经、纬线转换到平面上的理论和方法。

2.2 为什么要进行地图投影

由于地球是一个赤道略宽两极略扁的不规则的梨形球体，故其表面是一个不可展平的曲面，所以运用任何数学方法进行这种转换都会产生误差和变形（测量需要），为按照不同的需求缩小误差（缩小测量误差），就产生了各种投影方法。按变形性质，地图投影可分为四类：等角投影、等（面）积投影等距投影和任意投影。

2.3 地图投影的类型

2.3.1 为什么会有多种投影类型

无论将地球视为球体还是旋转椭球体，都必须变换其三维曲面以创建平面地图图幅。此数学变换通常称作地图投影。理解地图投影如何改变空间属性的一种简便方法就是观察光穿过地球投射到表面（称为投影曲面）上。想像一下，地球表面是透明的，其上绘有经纬网。用一张纸包裹地球。位于地心处的光会将经纬网投影到一张纸上。现在，可以展开这张纸并将其铺平。纸张上的经纬网形状与地球上的形状不同。地图投影使经纬网发生了变形。

展平旋转椭球体并不比展平橙皮容易，因为它会破裂。用两种尺寸表示地球表面会导致数据的形状、面积、距离或方向发生变形。

地图投影使用数学公式将地球上的球面坐标与平面坐标关联起来。

不同投影会引起不同类型的变形。有些投影旨在最大限度地降低一种或两种数据特的变形。投影可保持要素面积不变，但会改变其形状。在下图中，极点附近的数据已被拉伸。

下图显示了如何压缩三维要素以拟合到平面上。

地图投影具有特定用途。一种地图投影可能用于限定区域中的大比例尺数据，而另一种地图投影则用于小比例尺的世界地图。针对小比例尺数据的地图投影通常基于球体地理坐标系而不是椭球体地理坐标系。

2.3.2 投影类型

2.3.2.1 等角投影

等角投影保留局部形状。要保留描述空间关系的各个角，等角投影必须在地图上显示以 90 度角相交的垂直经纬网线。地图投影通过保持所有角不变来加以实现。缺点是由一些弧线围起来的区域将在此过程中发生巨大变形。地图投影无法保留较大区域的形状。

2.3.2.2 等积投影

等积投影保留所显示要素的面积。为此，形状、角和比例等其他属性将发生变形。在等积投影中，经线和纬线可能不垂直相交。有些情况下，尤其是较小区域的地图，形状不会明显变形，且很难区分等积投影和等角投影，除非加以说明或进行测量。

2.3.2.3 等距投影

等距地图保留某些点间的距离。任何投影都无法在整幅地图中正确保持比例不变。不过，多数情况下，地图上总会存在一条或多条这样的线：比例沿着这些线将正确地保持不变。多数等距投影都具有一条或多条这样的线：在此类线中，地图上线的长度（按地图比例尺计算）与地球上同一条线的长度相同，无论它是大圆还是小圆，是直线还是曲线。此类距离被视为真实距离。例如，在正弦投影中，赤道和所有纬线就是其真实长度。在其他等距投影中，赤道和所有经线具有真实长度。而其他投影（例如，两点等距离）仍会显示地图上一点或两点与相隔点间的真实比例。请记住，任何投影都不能实现地图上的所有点是等距离的。

2.3.2.4 真方向投影

曲面（例如，地球）上两点间的最短路径是沿平面上直线的球面等价线。即，两点所在的大圆。真方向（或方位）投影维持某些大圆圆弧不变，从而能够相对于中心正确地给出地图上所有点的方向或方位角。某些真方向投影也是等角、等积或等距投影。

三、投影参数

仅有地图投影并不足以定义投影坐标系。可以声明数据集处于横轴墨卡托投影中，但这些信息并不充足。投影中心在哪？是否使用了比例尺因子？如果不知道投影参数的精确值，就无法重新投影数据集。这就需要投影参数，通过投影参数可以了解投影对数据造成的变形程度。

每种地图投影都有一组必须定义的参数。参数用于指定原点以及为感兴趣区域自定义投影。角度参数使用地理坐标系单位，而线性参数使用投影坐标系单位。

3.1 线性参数

东移假定值是应用到 x 坐标原点的线性值。北移假定值是应用到 y 坐标原点的线性值。

通常使用东移假定值和北移假定值来确保所有 x 值和 y 值都是正数。也可以使用东移假定值和北移假定值参数来缩小 x 坐标值或 y 坐标值的范围。例如，如果知道所有 y 值均大于 5,000,000 米，则可使用 -5,000,000 的北移假定值。

在垂直近侧透视投影中，高度定义球体或旋转椭球体表面上方的透视点。

3.2 角度参数

• 方位角定义投影的中心线。旋转角度用于测量北偏东方向的角度。它在洪特尼斜轴墨卡托投影、改良斜正形投影和局部投影中与方位角配合使用。
• 中央子午线定义 x 坐标的原点。
• 起始经度定义 x 坐标的原点。中央子午线与起始经度参数同义。
• 中央纬线定义 y 坐标的原点。
• 起始纬度定义 y 坐标的原点。此参数可能并不在投影中心。特别地，圆锥投影使用此参数设置感兴趣区域下 y 坐标的原点。在这种情况下，不需要设置北移假定值参数来确保所有 y 坐标都是正数。
• 中心经度与洪特尼斜轴墨卡托投影中心（两点和方位角）配合使用来定义 x 坐标的起点。它通常与起始经度和中央子午线参数同义。
• 中心纬度与洪特尼斜轴墨卡托投影中心（两点和方位角）配合使用来定义 y 坐标的原点。它几乎总是投影的中心。
• 标准纬线 1 和标准纬线 2 与圆锥投影配合使用来定义比例为 1.0 的纬线。使用一条标准纬线定义兰勃特等角圆锥投影时，第一条标准纬线定义 y 坐标的原点。