梯度下降(Gradient Descent)算法 清晰展现过程

发布时间:2023-10-02 08:00

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(二)深入梯度下降(Gradient Descent)算法

一直以来都以为自己对一些算法已经理解了,直到最近才发现,梯度下降都理解的不好。

1 问题的引出

对于上篇中讲到的线性回归,先化一个为一个特征θ1,θ0为偏置项,最后列出的误差函数如下图所示:

\"梯度下降(Gradient

手动求解

目标是优化J(θ1),得到其最小化,下图中的×为y(i),下面给出TrainSet,{(1,1),(2,2),(3,3)}通过手动寻找来找到最优解,由图可见当θ1取1时,\"\"与y(i)完全重合,J(θ1) = 0

\"梯度下降(Gradient

下面是θ1的取值与对应的J(θ1)变化情况

\"梯度下降(Gradient

由此可见,最优解即为0,现在来看通过梯度下降法来自动找到最优解,对于上述待优化问题,下图给出其三维图像,可见要找到最优解,就要不断向下探索,使得J(θ)最小即可。

2 梯度下降的几何形式

下图为梯度下降的目的,找到J(θ)的最小值。

\"梯度下降(Gradient

其实,J(θ)的真正图形是类似下面这样的,因为其是一个凸函数,只有一个全局最优解,所以不必担心像上图一样找到局部最优解

\"梯度下降(Gradient

直到了要找到图形中的最小值之后,下面介绍自动求解最小值的办法,这就是梯度下降法

\"梯度下降(Gradient

对参数向量θ中的每个分量θj,迭代减去速率因子a* (dJ(θ)/dθj)即可,后边一项为J(θ)关于θj的偏导数

3 梯度下降的原理

导数的概念

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由公式可见,对点x0的导数反映了函数在点x0处的瞬时变化速率,或者叫在点x0处的斜度。推广到多维函数中,就有了梯度的概念,梯度是一个向量组合,反映了多维图形中变化速率最快的方向。

下图展示了对单个特征θ1的直观图形,起始时导数为正,θ1减小后并以新的θ1为基点重新求导,一直迭代就会找到最小的θ1,若导数为负时,θ1的就会不断增到,直到找到使损失函数最小的值。

 

 

有一点需要注意的是步长a的大小,如果a太小,则会迭代很多次才找到最优解,若a太大,可能跳过最优,从而找不到最优解。

\"梯度下降(Gradient

另外,在不断迭代的过程中,梯度值会不断变小,所以θ1的变化速度也会越来越慢,所以不需要使速率a的值越来越小

\"梯度下降(Gradient

下图就是寻找过程

\"梯度下降(Gradient

当梯度下降到一定数值后,每次迭代的变化很小,这时可以设定一个阈值,只要变化小鱼该阈值,就停止迭代,而得到的结果也近似于最优解。

\"梯度下降(Gradient

若损失函数的值不断变大,则有可能是步长速率a太大,导致算法不收敛,这时可适当调整a值

\"梯度下降(Gradient

为了选择参数a,就需要不断测试,因为a太大太小都不太好。

\"梯度下降(Gradient

 

 

如果想跳过的a与算法复杂的迭代,可以选择 Normal Equation。

4 随机梯度下降

对于样本数量额非常之多的情况,Batch Gradient Descent算法会非常耗时,因为每次迭代都要便利所有样本,可选用Stochastic Gradient Descent 算法,需要注意外层循环Loop,因为只遍历一次样本,不见得会收敛。

\"梯度下降(Gradient

随机梯度算法就可以用作在线学习了,但是注意随机梯度的结果并非完全收敛,而是在收敛结果处波动的,可能由非线性可分的样本引起来的:

可以有如下解决办法:(来自MLIA)

1. 动态更改学习速率a的大小,可以增大或者减小

2. 随机选样本进行学习 

 

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