数据结构：二叉树的遍历

写在前面

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历，就是按照某种特定的规则，一次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。 访问节点所做的操作要看具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其他运算的基础。

Ⅰ.  二叉树的遍历

0x00 关于遍历

二叉树遍历（Traversal）：沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。 按照规则，二叉树的遍历有：前序 / 中序 / 后序 的递归结构遍历。除了前序、中序和后续遍历外，我们还可以对二叉树进行层序遍历。

0x01 二叉树前序遍历

前序遍历（Preorder Traversal）：访问根节点的操作发生在遍历其右子树之前。

即，首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

代码实现前序遍历：

（这里我们用 Ø 符号来表示 NULL）

/* 二叉树前序遍历 */
void PreOrder(BTNode* root) {
	/* 首先判断根是否为空，为空就返回 */
	if (root == NULL) {        
		printf(\"Ø \");	// 暂时打印出来，便于观察	   
		return;				   
	}

	/* 走到这里说明不为空，根据前序遍历，先访问根节点 */
	printf(\"%c \", root->data);

	/* 然后遍历左子树（利用递归） */
	PreOrder(root->left);

	/* 最后遍历右子树（利用递归） */
	PreOrder(root->right);	                  
}

解读：

① 首先判断根是否为空，如果根为空，则返回。这里为了表示，我们把空节点以 \" Ø \" 打印出来。

② 如果跟不为空，这说明有数据。由于是前序遍历（Preorder），前序遍历是先访问根节点，然后遍历左子树，最后再遍历右子树。所以，我们这里先要访问的是根节点，我们把根节点的数据打印出来。

③ 然后我们需要遍历左子树，这时我们利用递归就可以实现。将根节点 root 的左数 left 传入 PreOrder 函数（将其左树看作根），一直递归下去，直到碰到 root == NULL 则返回。

④ 最后，遍历完左子树后遍历右子树。利用递归，方法同上。

0x02 二叉树中序遍历

中序遍历（Inorder Traversal）：访问根节点的操作发生在遍历其左右子树之中。

即，首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。

/* 二叉树中序遍历 */
void InOrder(BTNode* root) {
	/* 首先判断根是否为空，为空就返回 */
	if (root == NULL) {
		printf(\"Ø \");  // 暂时打印出来，便于观察
		return;
	}

	/* 走到这里说明不为空，根据中序遍历，先遍历左子树 */
	InOrder(root->left);

	/* 然后访问根节点（利用递归） */
	printf(\"Ø \", root->data);

	/* 最后遍历右子树（利用递归） */
	InOrder(root->right);
}

解读：

① 首先判断根是否为空，如果根为空，则返回。

② 如果跟不为空，这说明有数据。由于是中序遍历（Inorder），中序遍历是先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。

0x03 二叉树后序遍历

后序遍历（Postorder Traversal）：访问根节点的操作发生在遍历其左右子树之后。

即，首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。

/* 二叉树后序遍历 */
void PostOrder(BTNode* root) {
	/* 首先判断根是否为空，为空就返回 */
	if (root == NULL) {
		printf(\"/ \");
		return;
	}

	/* 走到这里说明不为空，根据后序遍历，先遍历左子树（利用递归） */
	PostOrder(root->left);

	/* 然后遍历右子树（利用递归） */
	PostOrder(root->right);

	/* 最后访问根节点 */
	printf(\"%c \", root->data);
}

解读：

① 首先判断根是否为空，如果根为空，则返回。

② 如果跟不为空，这说明有数据。由于是后序遍历（Postorder），后序遍历是先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。

0x04 层序遍历

层序遍历（Level Traversal）：设二叉树的根节点所在的层数为1的情况下，从二叉树的根节点出发，首先访问第1层的树根节点，然后再从左到右访问第2层上的节点。接着是第3层的节点……以此类推，自上而下、从左向右地逐层访问树的节点。

❓ 该如何实现层序遍历呢？

我们可以利用队列的性质来实现！

我们之前再讲过队列，这里你可以选择自己实现一个队列。如果不想实现就直接 CV 即可，因为我们这里重点要学的是层序遍历！

链接：【数据结构】队列的基本概念 | 从零开始实现队列

Queue.h：

#include 
#include 
#include 
#include 

typedef int QueueDataType;

typedef struct QueueNode {
	struct QueueNode* next;
	QueueDataType data;
} QueueNode;

typedef struct Queue {
	QueueNode* pHead;
	QueueNode* pTail;
} Queue;

void QueueInit(Queue* pQ);                    //队列初始化
void QueueDestroy(Queue* pQ);                 //销毁队列
bool QueueIfEmpty(Queue* pQ);                 //判断队列是否为空
void QueuePush(Queue* pQ, QueueDataType x);   //入队
void QueuePop(Queue* pQ);                     //出队
QueueDataType QueueFront(Queue* pQ);          //返回队头数据
QueueDataType QueueBack(Queue* pQ);           //返回队尾数据
int QueueSize(Queue* pQ);                     //求队列大小

Queue.c：

 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include \"Queue.h\"

/* 队列初始化 */
void QueueInit(Queue* pQ) {
	assert(pQ);
	pQ->pHead = pQ->pTail = NULL;
}

/* 销毁队列 */
void QueueDestroy(Queue* pQ) {
	assert(pQ);
	QueueNode* cur = pQ->pHead;
	while (cur != NULL) {
		QueueNode* cur_next = cur->next;
		free(cur);
		cur = cur_next;
	}
	pQ->pHead = pQ->pTail = NULL;
}

/* 判断队列是否为空 */
bool QueueIfEmpty(Queue* pQ) {
	assert(pQ);
	return pQ->pHead == NULL;
}

/* 入队 */
QueueNode* CreateNewNode(QueueDataType x) {
	QueueNode* new_node = (QueueNode*)malloc(sizeof(QueueNode));
	if (new_node == NULL) {
		printf(\"malloc failed!\\n\");
		exit(-1);
	}
	new_node->data = x;
	new_node->next = NULL;

	return new_node;
}
void QueuePush(Queue* pQ, QueueDataType x) {
	assert(pQ);
	QueueNode* new_node = CreateNewNode(x);

	if (pQ->pHead == NULL) {
		pQ->pHead = pQ->pTail = new_node;
	}
	else {
		pQ->pTail->next = new_node;
		pQ->pTail = new_node;
	}
}

/* 出队 */
void QueuePop(Queue* pQ) {
	assert(pQ);
	assert(!QueueIfEmpty(pQ));

	QueueNode* save_next = pQ->pHead->next;
	free(pQ->pHead);
	pQ->pHead = save_next;

	if (pQ->pHead == NULL) {
		pQ->pTail = NULL;
	}
}

/* 返回队头数据 */
QueueDataType QueueFront(Queue* pQ) {
	assert(pQ);
	assert(!QueueIfEmpty(pQ));

	return pQ->pHead->data;
}

/* 返回队尾数据 */
QueueDataType QueueBack(Queue* pQ) {
	assert(pQ);
	assert(!QueueIfEmpty(pQ));

	return pQ->pTail->data;
}

/* 求队列大小 */
int QueueSize(Queue* pQ) {
	assert(pQ);
	int count = 0;
	QueueNode* cur = pQ->pHead;

	while (cur != NULL) {
		count++;
		cur = cur->next;
	}

	return count;
}

这里为了方便讲解 #include \"展开\" 的特点，我们把树的定义放到 test.c 中，并且在 test.c 里完成层序遍历。

test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include \"Queue.h\"

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode {
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	BTDataType data;
} BTNode;

//#include \"Queue.h\"  解决方案？

/* 创建新节点 */
BTNode* BuyNode(BTDataType x) {
	BTNode* new_node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (new_node == NULL) {
		printf(\"malloc failed!\\n\");
		exit(-1);
	}
	new_node->data = x;
	new_node->left = new_node->right = NULL;

	return new_node;
}

/* 手动创建二叉树 */
BTNode* CreateBinaryTree() {
	BTNode* nodeA = BuyNode(\'A\');
	BTNode* nodeB = BuyNode(\'B\');
	BTNode* nodeC = BuyNode(\'C\');
	BTNode* nodeD = BuyNode(\'D\');
	BTNode* nodeE = BuyNode(\'E\');
	BTNode* nodeF = BuyNode(\'F\');

	nodeA->left = nodeB;
	nodeA->right = nodeC;
	nodeB->left = nodeD;
	nodeC->left = nodeE;
	nodeC->right = nodeF;

	return nodeA;
}

由于是我们的数据类型是 BTNode，我们需要修改一下 Queue.h 的 QueueDataType，我们之前一直强调的 typedef 的好处，这里就显现出来了。我们只需要把 int 改成 BTNode 就可以了，而不需要改很多地方。

Queue.h：

#include 
#include 
#include 
#include 

typedef BTNode* QueueDataType;

typedef struct QueueNode {
	struct QueueNode* next;
	QueueDataType data;
} QueueNode;

typedef struct Queue {
	QueueNode* pHead;
	QueueNode* pTail;
} Queue;

void QueueInit(Queue* pQ);                    //队列初始化
void QueueDestroy(Queue* pQ);                 //销毁队列
bool QueueIfEmpty(Queue* pQ);                 //判断队列是否为空
void QueuePush(Queue* pQ, QueueDataType x);   //入队
void QueuePop(Queue* pQ);                     //出队
QueueDataType QueueFront(Queue* pQ);          //返回队头数据
QueueDataType QueueBack(Queue* pQ);           //返回队尾数据
int QueueSize(Queue* pQ);                     //求队列大小

这时我们运行一下代码会出现一个问题，我们发现它报错了：

 它说，缺少 \" { \" ，这明显是胡说八道的，咱编译器也没有那么只能，毕竟是也不是VS2077。

❓ 这里产生问题的原因是什么呢？

编译器原则：编译器认识 int，因为 int 是一个内置类型。但是 BTNode* 编译器并不认识，就需要 \"往上面\" 去找这个类型。这里显然往上找，是找不到它的定义的，所以编译器会报错。

如果你要用这个类型，你就需要先定义这个类型。test.c文件中 #include \"Queue.h\" ，相当于把这里的代码拷贝过去了。这时，由于BTNode*会在上面展开，导致找不到 BTNode*  。

❓ 我把 #include 移到 定义类型的代码 的后面，可以解决问题吗？

可以！遗憾的是只能解决这里 typedef BTNode* 的问题，还有 Queue.c 里的问题……

那我们该怎么做，能彻底解决呢？

解决方案：前置声明。 这样就不会带来问题了，满足了先声明后使用。

Queue.h （修改后）：

#include 
#include 
#include 
#include 

// 前置声明
struct BinaryTreeNode;
typedef struct BinaryTreeNode* QueueDataType;

typedef struct QueueNode {
	struct QueueNode* next;
	QueueDataType data;
} QueueNode;

typedef struct Queue {
	QueueNode* pHead;
	QueueNode* pTail;
} Queue;

void QueueInit(Queue* pQ);                    //队列初始化
void QueueDestroy(Queue* pQ);                 //销毁队列
bool QueueIfEmpty(Queue* pQ);                 //判断队列是否为空
void QueuePush(Queue* pQ, QueueDataType x);   //入队
void QueuePop(Queue* pQ);                     //出队
QueueDataType QueueFront(Queue* pQ);          //返回队头数据
QueueDataType QueueBack(Queue* pQ);           //返回队尾数据
int QueueSize(Queue* pQ);                     //求队列大小

思路如下：

        ① 让根节点先入队。

        ② 记录当前队头后打印，并让队头出队，然后检测，如过孩子不为空就把孩子带进去。

          （上一层节点出队时带入下一层节点入队）

        ③ 只要队列不为空就说明还没完。如果队列为空，说明下面最后一层没有节点，遍历结束。

注意事项：使用完队列后别忘了要销毁！

代码实现：

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {		// 判断根是否为空
		return;
	}

	Queue pQ;			// 建立队列
	QueueInit(&pQ);		// 初始化队列
	QueuePush(&pQ, root);	// 先让根进入队列
	while (!QueueIfEmpty(&pQ)) {	// 只要队列内还有元素，就进入循环
		BTNode* front = QueueFront(&pQ);	// 记录当前对头数据
		printf(\"%c \", front->data);  // 打印队头数据
		QueuePop(&pQ);	 // 当队头出队

		if (front->left != NULL) {		// 如果队头元素的左子树不为空
			QueuePush(&pQ, front->left);	// 让左子树进入队列
		}
		if (front->right != NULL) {		// 如果对头元素的右子树不为空
			QueuePush(&pQ, front->right);	// 让右子树进入队列
		}
	}

	QueueDestroy(&pQ);	 // 销毁队列
}

解读：

① 首先判断根是否为空，如果为空就没有必要往下走了。

② 建立和初始化队列后，首先让根节点进入队列。只要队列内还有元素存在（说明还没遍历完）就进入循环。每次循环进入后都记录一下当前队头，这里使用 QueueFront 取队头数据即可。之后打印对头的数据。

③ 打印完后让队头出队，随后判断它的左子树和右子树，如果不为空就允许它们进队。我们先判断 left，再判断 right，这样就可以做到一层一层从左往右走的效果了。

④ 最后使用完队列后，别忘了销毁队列！

Ⅱ. BINARY TREE TRAVERSALS 阅读笔记

0x00 概念

经常出现的一个操作是遍历树，也就是说，对树上的每个节点都精确访问一次。

完全遍历会对树中的信息产生一个线性顺序。

当遍历一棵树时，我们希望以同样的方式对待每个节点和它的子树。

假设对于树中的每个节点：

① 代表向左移动

② 代表访问该节点（eg. 打印出数据字段）

③ 代表向右移动。

则存在 6 种可能的遍历组合：

—— 中序遍历（inorder traversal）

 —— 后序遍历（postorder traversal）

 —— 前序遍历（preorder traversal）

二叉树的三种遍历，与表达式的   三种形式，不乏紧密、自然的联系。

（图5.15）

0x01 中序遍历 - Inorder Traversal

void inorder(tree_pointer ptr)
/* inorder tree traversal */
{
	if (ptr) {
		inorder(ptr->left_child);
		printf(\"%d\", ptr->data);
		inorder(ptr->right_child);
	}
}

图5.15 按顺序输出：

0x02 前序遍历 - Preorder Traversal

void preorder(tree_pointer ptr)
/* preorder tree traversal */
{
	if (ptr) {
		printf(\"%d\", ptr->data);
		preorder(ptr->left_child);
		preorder(ptr->right_child);
	}
}

图5.15 按顺序输出：

0x03 后序遍历 - Postorder Traversal

void postorder(tree_pointer ptr)
/* postorder tree traversal */
{
	if (ptr) {
		postorder(ptr->left_child);
		postorder(ptr->right_child);
		printf(\"%d\", ptr->data);
	}
}

图5.15 按顺序输出：

0x04 非递归（循环）中序遍历 - Iterative Inorder Traversal

图5.16 含蓄地表现了 Program5.1 的堆叠和拆垛的过程。

一个没有动作的节点表示该节点被添加到堆栈中， - 而一个有printf动作的节点表示该节点被从堆栈中移除。 注意： - 左边的节点被堆叠起来，直到到达一个空节点， - 然后该节点被从堆叠中移除， - 该节点的右边子节点被堆叠起来

void iter_inorder(tree_pointer node)
{
	int top = -1; /* initialize stack */
	tree_pointer stack[MAX_STACK_SIZE];
	for (; ; ) {
		for (; node; node = node->left_child)
			add(&top, node); /* add to stack */
		node = delete(&top); /* delete from stack */
		if (!node) break; /* empty stack */
		printf(\"%d\", node->data);
		node = node->right_child;
	}
}

iter_inorder 的分析：令  是树中结点个数。iterInorder 把每个节点入栈一次、出栈一次，所以时间复杂度为 ，空间复杂度取决于树的深度，也是 。

0x05 层序遍历 - Level Order Traversal

层序遍历（Level Traversal）：设二叉树的根节点所在的层数为1的情况下，从二叉树的根节点出发，首先访问第1层的树根节点，然后再从左到右访问第2层上的节点。接着是第3层的节点……以此类推，自上而下、从左向右地逐层访问树的节点。

层序遍历需要利用队列来实现遍历。

void level_order(tree_pointer ptr)
/* level order tree traversal */
{
	int front = rear = 0;
	tree_pointer queue[MAX_QUEUE_SIZE];
	if (!ptr) return; /* empty tree */
	addq(front, &rear, ptr);
	for (; ; ) {
		ptr = deleteq(&front, rear); /*empty list returns NULL*/
		if (ptr) {
			printf(\"%d\", ptr->data);
			if (ptr->left_child)
				addq(front, &rear, ptr->left_child);
			if (ptr->right_child)
				addq(front, &rear, ptr->right_child);
		}
		else break;
	}
}

Ⅲ. 其他二叉树操作

0x00 复制二叉树

根据二叉树的定义，以及前中后序的递归实现，可以很容易地编写其他二叉树操作的C程序。

以常用的二叉树复制操作为例，程序 5.6 中的 copy 函数为实现代码。程序结构与刚才的 postorder 很接近，它实际上是根据它的代码修改而得到的，改动很少。

[Program 5.6] 复制二叉树

tree_pointer copy(tree_pointer original)
/* this function returns a tree_pointer to an exact copy
of the original tree */
{
	tree_pointer temp;
	if (original) {
		temp = (tree_pointer)malloc(sizeof(node));
		if (IS_FULL(temp)) {
			fprintf(stderr, \"The memory is full\\n\");
			exit(1);
		}
		temp->left_child = copy(original->left_child);
		temp->right_child = copy(original->right_child);
		temp->data = original->data;
		return temp;
	}
	return NULL;
}

0x01 判断两个二叉树全等 - Testing For Equality Of Binary Trees

两个全等的二叉树定义为两者的结构相等，并且对应数据域的内容相等。

int equal(tree_pointer first, tree_pointer second)
/* function returns FALSE if the binary trees first and
second are not equal, otherwise it returns TRUE */
{
	return ((!first && !second) || (first && second &&
		(first->data == second->data) &&
		equal(first->left_child, second->left_child) &&
		equal(first->right_child, second->right_child))
}

0x03 可满足性问题（The Satisfiability Problem）

考虑由遍历  和操作符  构成的演算公式集合。

变量只有两种取值 true 和 flase。

公式满足如下条件：

（1）一个变量是一个表达式

（2）如果 x 和 y 是表达式， 则 是表达式

（3）操作符的优先级从高到低为 ，但括号可以改变运算顺序。

这三条基本规则可以生成命题演算的所有演算公式，如 \"蕴含\" 可用 表示。

对于给定的公式，是否存在一个变量集合的赋值，使该公式的求值结果为 true。

[program 5.8] 求解可满足性问题的第一个程序

for (all 2n possible combinations) {
	generate the next combination;
	replace the variables by their values;
	evaluate the expression;
	if (its value is true) {
		printf();
		return;
	}
}
printf(\"No satisfiable combination\\n\");

为了评为了评估一个表达式，我们可以按后序遍历树，评估子树，直到整个表达式被简化为一个单一的值。 这对应于算术表达式的后缀评估。

[program 5.8]  后序求值

void post_order_eval(tree_pointer node)
{
	/* modified postorder traversal to evaluate
	a propositional calculus tree */
	if (node) {
		post_order_eval(node->left_child);
		post_order_eval(node->right_child);
		switch (node->data) {
		case not : node->value =
			!node->right_child->value;
			break;
		caseand : node->value =
			node->right_child->value && node->left_child->value;
		break;
		case or : node->value =
			node->right_child->value || node->left_child->value;
			break;
		case true: node->value = TRUE;
			break;
		case false: node->value = FALSE;
		}
	}
}

参考资料

Fundamentals of Data Structures in C