目录

1.提出问题

1.1具体问题描述    

 1.2解决方案

 2.分析问题

 2.1基本思想

 2.2基本原理

 3.程序运行

 3.1运行环境

 3.2 程序代码

 3.3 运行过程

 3.4 运行结果

 4.联系实际

1.提出问题

1.1具体问题描述    

【描述问题】

如果在考虑空气阻力的情况下，通过编程去计算投射体撞击地面的时间和飞行路程。

其中：

 【输入形式】

在程序中输入三个数字，分别是

起始值、前后两次迭代差的绝对值精度、g(t)函数值的精度。

【输出形式】

第一行输出投射体撞击地面经过的时间

第二行输出投射体撞击地面前的飞行路程

注意：输出精确到小数点后10位

 1.2解决方案

1. 分析问题
2. 采用的计算方法
3. 用编程来实现
4. 进行结果分析

 2.分析问题

 2.1基本思想

首先，要明确的是问题中提供的方程都是非线性方程。

其次，针对非线性方程的解决办法是（二分法，迭代法，弦割法和抛物线法）。

而根据这个问题就要采用牛顿迭代法，这是因为牛顿迭代法的两个主要应用方向是

1. 目标函数最优化求解。
2. 进行方程的求解。   

最后，牛顿迭代法的核心思想是对函数进行泰勒展开，本题也将采用这样的思想进行求解

 2.2基本原理

前面已经明确使用牛顿迭代法解决问题，那么结束迭代的条件就是

1. 前后两次迭代的差小于某一设定的精度
2. 与渐进误差常数有关
3. 与所给的函数的函数值精度有关

具体通过编程实现思路，如下：

1. 先写主函数main() ，在函数体内部声明变量、精度、还有需要实现的函数功能，最后就是输出打印。
2. 用两个函数g()和h()对两个方程g(t)和h(t)进行实现，其中h()就是实现投射体水平飞行路程的函数
3. 再用函数g1()表示函数g(t)的求导方程
4. 计算投射体水平飞行路程，用函数newton()来实现，这个也是牛顿迭代法的核心

 3.程序运行

 3.1运行环境

本题程序运行将在VS2022 中进行，采用的编程语言是C++。

 3.2 程序代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include
#include
#include
double e = 2.718281828;
using namespace std;

double g(double t)
{
	return 9600 * (1 - pow(e, (-t / 15.0))) - 480 * t;
	//y=g(t)=9600*(1-e^(-t/15.0)) - 480*t
}
double h(double t)
{
	return 2400 * (1 - pow(e, (-t / 15.0)));
	//x=h(t)=2400*(1-e^(-t/15.0))。
}
double g1(double t)
{
	return 640 * pow(e, (-t / 15.0)) - 480;
	//求导得 y=g1(t)=640*(e^(-p/15.0))-480
}
double newton(double p0, double delta, double epsilon)
{
	double p1 = p0 - g(p0) / g1(p0);//迭代公式
	double err = abs(p1 - p0);//绝对误差
	double relerr = 2 * err / (abs(p1) + delta);//相对误差
	p0 = p1;//赋值循环
	double y = g(p0);
	if (err < delta || relerr < delta || abs(y) < epsilon)
		return p0;//把迭代求的的值返回
	else
	{
		return newton(p0, delta, epsilon);//否则继续迭代
	}
}
int main()
{
	double p0, t;//p0是起始值，t是投射体撞击地面经过的时间
	int ddelta, depsilon;//精度
	cin >> p0 >> ddelta >> depsilon;
	double delta, epsilon;
	delta = pow(10, -ddelta);//精确度
	epsilon = pow(10, -depsilon);

	t = newton(p0, delta, epsilon);//求时间，牛顿法核心
	double x;
	x = h(t);//水平飞行距离
	cout << \"投射体撞击地面时的时间：\" << fixed << setprecision(10) << t << endl;
	cout << \"投射体水平飞行路程：\" << fixed << setprecision(10) << x;
	return 0;
}

 3.3 运行过程

将程序代码写好后，在VS2022中开始执行，这里提供两个测试用例

测试用例1：【输入】7 4 6

                    【输出】投射体撞击地面时的时间： 9.0878996662

                                  投射体水平飞行路程： 1090.5479598954

测试用例2：【输入】8 1 1

                    【输出】投射体撞击地面时的时间： 9.0895510206

                                  投射体水平飞行路程： 1090.6921099181

 3.4 运行结果

 4.联系实际

由于牛顿迭代法具有局部收敛性，所以需要提一个接近于根的初始位置才可以使用，

在这个问题中，使用牛顿迭代法迭代次数更少，可以最优化解决问题。

通过编程输入起始值、前后两次迭代差的绝对值精度、g(t)函数值的精度，就可以求出飞行时间和水平路程，

这个投射体问题，就是牛顿迭代法很好实现实例。牛顿迭代法还可以用于机器学习，在工程中求一个趋势的极值、传递函数参数辨识等应用。