926. 将字符串翻转到单调递增

题目描述

这是 LeetCode 上的 926. 将字符串翻转到单调递增 ，难度为 中等。

Tag : 「LIS」、「序列 DP」、「贪心」、「二分」、「动态规划」、「前缀和」、「枚举」、「容斥原理」

如果一个二进制字符串，是以一些 $0$（可能没有 $0$）后面跟着一些 $1$（也可能没有 $1$）的形式组成的，那么该字符串是 单调递增 的。

给你一个二进制字符串 s，你可以将任何 $0$ 翻转为 $1$ 或者将 $1$ 翻转为 $0$ 。

返回使 s 单调递增的最小翻转次数。

示例 1：

输入：s = \"00110\"

输出：1

解释：翻转最后一位得到 00111.

示例 2：

输入：s = \"010110\"

输出：2

解释：翻转得到 011111，或者是 000111。

示例 3：

输入：s = \"00011000\"

输出：2

解释：翻转得到 00000000。

提示：

• $1 <= s.length <= 10^5$
• s[i] 为 \'0\' 或 \'1\'

LIS 问题贪心解

根据题意，不难想到将原题进行等价转换：令 s 长度为 $n$，原问题等价于在 s 中找到最长不下降子序列，设其长度为 $ans$，那么对应的 $n - ans$ 即是答案。

由于数据范围为 $1e5$，因此我们需要使用 LIS 问题的贪心求解方式：使用 g 数组记录每个长度的最小结尾元素，即 g[len] = x 含义为长度为 $len$ 的最长不下降子序列的结尾元素为 $x$，然后在从前往后处理每个 $t = s[i]$ 时，由于是求解「最长不下降子序列」，等价于找「满足大于 $t$ 的最小下标」，这可以运用「二分」进行求解。

不了解 LIS 问题或者不清楚 LIS 问题贪心解法的同学可以看前置 : LCS 问题与 LIS 问题的相互关系，以及 LIS 问题的最优解证明，里面详细讲解了 LIS 贪心解的正确性证明，以及 LCS 和 LIS 在特定条件下存在的内在联系。

代码：

class Solution {
    public int minFlipsMonoIncr(String s) {
        char[] cs = s.toCharArray();
        int n = cs.length, ans = 0;
        int[] g = new int[n + 10];
        Arrays.fill(g, n + 10);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = s.charAt(i) - \'0\';
            int l = 1, r = i + 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (g[mid] > t) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            g[r] = t;
            ans = Math.max(ans, r);
        }
        return n - ans;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n\\log{n})$
• 空间复杂度：$O(n)$

前缀和 + 枚举

更进一步，利用 s 只存在 $0$ 和 $1$ 两种数值，我们知道最后的目标序列形如 000...000、000...111 或 111...111 的形式。

因此我们可以枚举目标序列的 $0$ 和 $1$ 分割点位置 $idx$（分割点是 $0$ 是 $1$ 都可以，不消耗改变次数）。

于是问题转换为：分割点 $idx$ 左边有多少个 $1$（目标序列中分割点左边均为 $0$，因此 $1$ 的个数为左边的改变次数），分割点 $idx$ 的右边有多少个 $0$（目标序列中分割点右边均为 $1$，因此 $0$ 的个数为右边的改变次数），两者之和即是分割点为 $idx$ 时的总变化次数，所有 $idx$ 的总变化次数最小值即是答案。

而求解某个点左边或者右边有多少 $1$ 和 $0$ 可通过「前缀和」进行优化。

代码：

class Solution {
    public int minFlipsMonoIncr(String s) {
        char[] cs = s.toCharArray();
        int n = cs.length, ans = n;
        int[] sum = new int[n + 10];
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + (cs[i - 1] - \'0\');
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int l = sum[i - 1], r = (n - i) - (sum[n] - sum[i]);
            ans = Math.min(ans, l + r);
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.926 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSou... 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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