发布时间：2024-10-13 13:01
重新定义一下上篇文章所述的矩阵的三相性。
一个矩阵是零矩阵，当其元素都是 0 0 0。一个矩阵 A A A是非零矩阵，当 A x = 0 ⇒ x = 0 A\\boldsymbol{x}=\\boldsymbol{0}\\Rightarrow\\boldsymbol{x}=\\boldsymbol{0} Ax=0⇒x=0。其它矩阵称为临界矩阵。
它们的乘法规律可由下述三相乘法表描述。
| 非零 | 临界 | 零 | |
|---|---|---|---|
| 非零 | 非零 | 临界 | 零 |
| 临界 | 临界 | 临界/零 | 零 |
| 零 | 零 | 零 | 零 |
非零的方阵可逆。
以下是一些不重要的叙述。之后我们将不区分 { a 1 , ⋯ , a n } \\{\\boldsymbol{a}_1,\\cdots,\\boldsymbol{a}_n\\} {a1,⋯,an}和 [ a 1 ⋯ a n ] \\left[\\begin{matrix}\\boldsymbol{a}_1&\\cdots&\\boldsymbol{a}_n\\end{matrix}\\right] [a1⋯an]，并将后者记为 A A A。
显然， A A A线性无关意即 A A A是非零矩阵。 A A A线性相关即 A A A是临界矩阵或零矩阵。
span ( A ) \\text{span}(A) span(A)和 R ( A ) \\mathcal{R}(A) R(A)可以表示为 { y ∣ y = A x } \\{\\boldsymbol{y}|\\boldsymbol{y}=A\\boldsymbol{x}\\} {y∣y=Ax}，其中 x \\boldsymbol{x} x是任意向量。