运筹说 第60期 | 0-1型整数规划和指派问题

发布时间:2023-06-30 15:30

通过前两期的学习,我们已经学会了整数规划问题的数学模型、割平面法和分支定界法。本期小编带大家学习0-1整数问题和指派问题。

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一 0-1整数规划

01定义

0-1型整数规划是整数规划的一种特殊形式,它的变量xj仅取值0或1。这种只能取0或1的变量称为0-1变量或二进制变量。例如

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当问题含有多项限制要素E1,E2,…,En,其中每项都有两种选择时,可令

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若遇到变量可以取多个整数值时,可以用一组0-1变量取代该变量。例如,变量x可取0与9之间的任意整数时,可令

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其中,x0x1x2x3皆为0-1变量。

02应用

案例1 含有互斥约束条件的问题 

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案例2 固定费用问题  

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案例3 工件排序问题 

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03解法

对于0-1型整数规划,一般采用隐枚举法,而不必采用完全枚举法:

1、只要发现某个变量组合不满足其中一个约束条件时,就不必再去检验其他约束条件是否可行。

2、若已发现一个可行解,则可根据它的目标函数值产生一个过滤条件,对于目标函数值比它差的变量组合就不必再去检验它的可行性;在以后的求解中,每当发现更好的可行解,则以此替换原来的过滤条件。

案例4 

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二 指派问题

01数学模型

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02 匈牙利解法

1955年,库恩利用匈牙利数学家康尼格的关于矩阵中独立零元素的定理,提出了解指派问题的一种算法,称为匈牙利解法。

 ★核心思想

 若从指派问题的系数矩阵C的某行(或某列)各元素分别减去一个常数k,得到一个新的矩阵C’,则以C’C为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。这是由于系数矩阵的变化并不影响数学模型的约束方程组,只是目标函数值减少了常数k,所以最优解不变。

★ 匈牙利解法步骤

1、变换系数矩阵,先对各行元素分别减去本行中的最小元素,再对各列元素分别减去本列最小元素,从而保证系数矩阵中每行及每列中至少有一个零元素

2、在变换后的系数矩阵中确定独立零元素。若独立零元素有n个,则已得出最优解;若独立零元素少于n个,则做能覆盖所有零元素的最少直线数目的直线集合。

(1)对没有⚪的行打√号;

(2)对已打√号的行中所有被划去0元素的所在列打√号;

(3)再对打有√号的列中⚪中0元素的所在行打√号;

(4)重复(2)(3),直到得不出新的打√号的行(列)为止;

(5)对没有打√号的行画横线,对打√号的列画一纵线,这就得到覆盖所有0元素的最少直线数目的直线集合。

3、继续变换系数矩阵,在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素,对未被覆盖的元素所在行(或列)中各元素都减去这一最小元素。对出现负元素的行或列都加上这一最小元素。返回步骤2。

案例5 

求表中所示效率矩阵的指派问题的最小解

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03 非标准形式的指派问题

核心思想

对于非标准形式的指派问题,通常的处理方法是先将它们转化为标准形式然后求解。

★最大化指派问题

当面对最大化指派问题,可以从系数矩阵C中,找出最大元素m,用m减去矩阵C中所有元素得到系数矩阵B,则以B为系数矩阵的最小化指派问题和以C为系数矩阵的原最大化指派问题有相同最优解。

★ 人数和事数不等的指派问题

若人数少事件多,添上虚拟的人,费用系数值为0。

若事件少人数多,添上虚拟的事件,费用系数值为0。

★ 一个人可做几件事的指派问题

将该人化作相同的几个人来接受指派,这几个人做同一事件的费用系数都一样。

★ 某事一定不能由某人做的指派问题

若某事一定不能由某人做,将相应的费用系数取作足够大的数M

以上就是关于0-1整数规划和指派问题的全部内容了,学习完这一节,大家可以试着对一些实际问题进行应用练习。下一次小编将带大家学习第六章——非线性规划,敬请关注!   


作者 | 陈优 王连聚

责编 | 刘文志

审核 | 徐小峰

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