发布时间:2023-06-30 15:30
通过前两期的学习,我们已经学会了整数规划问题的数学模型、割平面法和分支定界法。本期小编带大家学习0-1整数问题和指派问题。
0-1型整数规划是整数规划的一种特殊形式,它的变量xj仅取值0或1。这种只能取0或1的变量称为0-1变量或二进制变量。例如
当问题含有多项限制要素E1,E2,…,En,其中每项都有两种选择时,可令
若遇到变量可以取多个整数值时,可以用一组0-1变量取代该变量。例如,变量x可取0与9之间的任意整数时,可令
其中,x0,x1,x2,x3皆为0-1变量。
案例1 含有互斥约束条件的问题
案例2 固定费用问题
案例3 工件排序问题
对于0-1型整数规划,一般采用隐枚举法,而不必采用完全枚举法:
1、只要发现某个变量组合不满足其中一个约束条件时,就不必再去检验其他约束条件是否可行。
2、若已发现一个可行解,则可根据它的目标函数值产生一个过滤条件,对于目标函数值比它差的变量组合就不必再去检验它的可行性;在以后的求解中,每当发现更好的可行解,则以此替换原来的过滤条件。
案例4
1955年,库恩利用匈牙利数学家康尼格的关于矩阵中独立零元素的定理,提出了解指派问题的一种算法,称为匈牙利解法。
★核心思想
若从指派问题的系数矩阵C的某行(或某列)各元素分别减去一个常数k,得到一个新的矩阵C’,则以C’和C为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。这是由于系数矩阵的变化并不影响数学模型的约束方程组,只是目标函数值减少了常数k,所以最优解不变。
★ 匈牙利解法步骤
1、变换系数矩阵,先对各行元素分别减去本行中的最小元素,再对各列元素分别减去本列最小元素,从而保证系数矩阵中每行及每列中至少有一个零元素。
2、在变换后的系数矩阵中确定独立零元素。若独立零元素有n个,则已得出最优解;若独立零元素少于n个,则做能覆盖所有零元素的最少直线数目的直线集合。
(1)对没有⚪的行打√号;
(2)对已打√号的行中所有被划去0元素的所在列打√号;
(3)再对打有√号的列中⚪中0元素的所在行打√号;
(4)重复(2)(3),直到得不出新的打√号的行(列)为止;
(5)对没有打√号的行画横线,对打√号的列画一纵线,这就得到覆盖所有0元素的最少直线数目的直线集合。
3、继续变换系数矩阵,在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素,对未被覆盖的元素所在行(或列)中各元素都减去这一最小元素。对出现负元素的行或列都加上这一最小元素。返回步骤2。
案例5
求表中所示效率矩阵的指派问题的最小解
核心思想
对于非标准形式的指派问题,通常的处理方法是先将它们转化为标准形式然后求解。
★最大化指派问题
当面对最大化指派问题,可以从系数矩阵C中,找出最大元素m,用m减去矩阵C中所有元素得到系数矩阵B,则以B为系数矩阵的最小化指派问题和以C为系数矩阵的原最大化指派问题有相同最优解。
★ 人数和事数不等的指派问题
若人数少事件多,添上虚拟的人,费用系数值为0。
若事件少人数多,添上虚拟的事件,费用系数值为0。
★ 一个人可做几件事的指派问题
将该人化作相同的几个人来接受指派,这几个人做同一事件的费用系数都一样。
★ 某事一定不能由某人做的指派问题
若某事一定不能由某人做,将相应的费用系数取作足够大的数M。
以上就是关于0-1整数规划和指派问题的全部内容了,学习完这一节,大家可以试着对一些实际问题进行应用练习。下一次小编将带大家学习第六章——非线性规划,敬请关注!
作者 | 陈优 王连聚
责编 | 刘文志
审核 | 徐小峰