算法导论九大排序总结
发布时间：2023-07-01 12:00
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本文首先介绍了基于比较模型的排序算法，即最坏复杂度都在Ω(nlgn)的排序算法，接着介绍了一些线性时间排序算法，这些排序算法虽然都在线性时间，但是都是在对输入数组有一定的约束的前提下才行。
这篇文章参看了《算法导论》第2、3、4、6、7、8章而总结。
算法的由来：9世纪波斯数学家提出的：“al-Khowarizmi”
排序的定义：
输入：n个数：a1,a2,a3,...,an
输出：n个数的排列:a1\',a2\',a3\',...,an\'，使得a1\'<=a2\'<=a3\'<=...<=an\'。
In-place sort（不占用额外内存或占用常数的内存）：插入排序、选择排序、冒泡排序、堆排序、快速排序。
Out-place sort：归并排序、计数排序、基数排序、桶排序。
当需要对大量数据进行排序时，In-place sort就显示出优点，因为只需要占用常数的内存。
设想一下，如果要对10000个数据排序，如果使用了Out-place sort，则假设需要用200G的额外空间，则一台老式电脑会吃不消，但是如果使用In-place sort，则不需要花费额外内存。
stable sort：插入排序、冒泡排序、归并排序、计数排序、基数排序、桶排序。
unstable sort：选择排序(5 8 5 2 9)、快速排序、堆排序。
为何排序的稳定性很重要？
在初学排序时会觉得稳定性有这么重要吗？两个一样的元素的顺序有这么重要吗？其实很重要。在基数排序中显得尤为突出，如下：
算法导论习题8.3-2说：如果对于不稳定的算法进行改进，使得那些不稳定的算法也稳定？
其实很简单，只需要在每个输入元素加一个index，表示初始时的数组索引，当不稳定的算法排好序后，对于相同的元素对index排序即可。
基于比较的排序都是遵循“决策树模型”，而在决策树模型中，我们能证明给予比较的排序算法最坏情况下的运行时间为Ω(nlgn)，证明的思路是因为将n个序列构成的决策树的叶子节点个数至少有n!，因此高度至少为nlgn。
线性时间排序虽然能够理想情况下能在线性时间排序，但是每个排序都需要对输入数组做一些假设，比如计数排序需要输入数组数字范围为[0,k]等。
在排序算法的正确性证明中介绍了”循环不变式“，他类似于数学归纳法，\"初始\"对应\"n=1\"，\"保持\"对应\"假设n=k成立，当n=k+1时\"。
一、插入排序
特点：stable sort、In-place sort
最优复杂度：当输入数组就是排好序的时候，复杂度为O(n)，而快速排序在这种情况下会产生O(n^2)的复杂度。
最差复杂度：当输入数组为倒序时，复杂度为O(n^2)
插入排序比较适合用于“少量元素的数组”。
其实插入排序的复杂度和逆序对的个数一样，当数组倒序时，逆序对的个数为n(n-1)/2，因此插入排序复杂度为O(n^2)。
在算法导论2-4中有关于逆序对的介绍。
伪代码：
证明算法正确性：
循环不变式：在每次循环开始前，A[1...i-1]包含了原来的A[1...i-1]的元素，并且已排序。
初始：i=2，A[1...1]已排序，成立。
保持：在迭代开始前，A[1...i-1]已排序，而循环体的目的是将A[i]插入A[1...i-1]中，使得A[1...i]排序，因此在下一轮迭代开 始前，i++，因此现在A[1...i-1]排好序了，因此保持循环不变式。
终止：最后i=n+1，并且A[1...n]已排序，而A[1...n]就是整个数组，因此证毕。
而在算法导论2.3-6中还问是否能将伪代码第6-8行用二分法实现？
实际上是不能的。因为第6-8行并不是单纯的线性查找，而是还要移出一个空位让A[i]插入，因此就算二分查找用O(lgn)查到了插入的位置，但是还是要用O(n)的时间移出一个空位。
问：快速排序（不使用随机化）是否一定比插入排序快？
答：不一定，当输入数组已经排好序时，插入排序需要O(n)时间，而快速排序需要O(n^2)时间。
递归版插入排序
二、冒泡排序
特点：stable sort、In-place sort
思想：通过两两交换，像水中的泡泡一样，小的先冒出来，大的后冒出来。
最坏运行时间：O(n^2)
最佳运行时间：O(n^2)（当然，也可以进行改进使得最佳运行时间为O(n)）
算法导论思考题2-2中介绍了冒泡排序。
伪代码：
证明算法正确性：
运用两次循环不变式，先证明第4-6行的内循环，再证明外循环。
内循环不变式：在每次循环开始前，A[j]是A[j...n]中最小的元素。
初始：j=n，因此A[n]是A[n...n]的最小元素。
保持：当循环开始时，已知A[j]是A[j...n]的最小元素，将A[j]与A[j-1]比较，并将较小者放在j-1位置，因此能够说明A[j-1]是A[j-1...n]的最小元素，因此循环不变式保持。
终止：j=i，已知A[i]是A[i...n]中最小的元素，证毕。
接下来证明外循环不变式：在每次循环之前，A[1...i-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序：A[1]<=A[2]<=...<=A[i-1]。
初始：i=1，因此A[1..0]=空，因此成立。
保持：当循环开始时，已知A[1...i-1]是A中最小的i-1个元素，且A[1]<=A[2]<=...<=A[i-1]，根据内循环不变式，终止时A[i]是A[i...n]中最小的元素，因此A[1...i]包含了A中最小的i个元素，且A[1]<=A[2]<=...<=A[i-1]<=A[i]
终止：i=n+1，已知A[1...n]是A中最小的n个元素，且A[1]<=A[2]<=...<=A[n]，得证。
在算法导论思考题2-2中又问了”冒泡排序和插入排序哪个更快“呢？
一般的人回答：“差不多吧，因为渐近时间都是O(n^2)”。
但是事实上不是这样的，插入排序的速度直接是逆序对的个数，而冒泡排序中执行“交换“的次数是逆序对的个数，因此冒泡排序执行的时间至少是逆序对的个数，因此插入排序的执行时间至少比冒泡排序快。
递归版冒泡排序
改进版冒泡排序
最佳运行时间：O(n)
最坏运行时间：O(n^2)
三、选择排序
特性：In-place sort，unstable sort。
思想：每次找一个最小值。
最好情况时间：O(n^2)。
最坏情况时间：O(n^2)。
伪代码：
证明算法正确性：
循环不变式：A[1...i-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序。
初始：i=1，A[1...0]=空，因此成立。
保持：在某次迭代开始之前，保持循环不变式，即A[1...i-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序，则进入循环体后，程序从 A[i...n]中找出最小值放在A[i]处，因此A[1...i]包含了A中最小的i个元素，且已排序，而i++，因此下一次循环之前，保持 循环不变式：A[1..i-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序。
终止：i=n，已知A[1...n-1]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序，因此A[n]中的元素是最大的，因此A[1...n]已排序，证毕。
算法导论2.2-2中问了\"为什么伪代码中第3行只有循环n-1次而不是n次\"？
在循环不变式证明中也提到了，如果A[1...n-1]已排序，且包含了A中最小的n-1个元素，则A[n]肯定是最大的，因此肯定是已排序的。
递归版选择排序
递归式：
T(n)=T(n-1)+O(n)
=> T(n)=O(n^2)
四、归并排序
特点：stable sort、Out-place sort
思想：运用分治法思想解决排序问题。
最坏情况运行时间：O(nlgn)
最佳运行时间：O(nlgn)
分治法介绍：分治法就是将原问题分解为多个独立的子问题，且这些子问题的形式和原问题相似，只是规模上减少了，求解完子问题后合并结果构成原问题的解。
分治法通常有3步：Divide（分解子问题的步骤） 、 Conquer（递归解决子问题的步骤）、 Combine（子问题解求出来后合并成原问题解的步骤）。
假设Divide需要f(n)时间，Conquer分解为b个子问题，且子问题大小为a，Combine需要g(n)时间，则递归式为：
T(n)=bT(n/a)+f(n)+g(n)
算法导论思考题4-3（参数传递）能够很好的考察对于分治法的理解。
就如归并排序，Divide的步骤为m=(p+q)/2，因此为O(1)，Combine步骤为merge()函数，Conquer步骤为分解为2个子问题，子问题大小为n/2，因此：
归并排序的递归式：T(n)=2T(n/2)+O(n)
而求解递归式的三种方法有：
(1)替换法：主要用于验证递归式的复杂度。
(2)递归树：能够大致估算递归式的复杂度，估算完后可以用替换法验证。
(3)主定理：用于解一些常见的递归式。
伪代码：
证明算法正确性：
其实我们只要证明merge()函数的正确性即可。
merge函数的主要步骤在第25~31行，可以看出是由一个循环构成。
循环不变式：每次循环之前，A[p...k-1]已排序，且L[i]和R[j]是L和R中剩下的元素中最小的两个元素。
初始：k=p，A[p...p-1]为空，因此已排序，成立。
保持：在第k次迭代之前，A[p...k-1]已经排序，而因为L[i]和R[j]是L和R中剩下的元素中最小的两个元素，因此只需要将L[i]和R[j]中最小的元素放到A[k]即可，在第k+1次迭代之前A[p...k]已排序，且L[i]和R[j]为剩下的最小的两个元素。
终止：k=q+1，且A[p...q]已排序，这就是我们想要的，因此证毕。
归并排序的例子：
![\"\"](\"https://img.it610.com/image/info8/d3e7cf7913424d10a3de7d16b86cfa5b.png\")
问：归并排序的缺点是什么？
答：他是Out-place sort，因此相比快排，需要很多额外的空间。
问：为什么归并排序比快速排序慢？
答：虽然渐近复杂度一样，但是归并排序的系数比快排大。
问：对于归并排序有什么改进？
答：就是在数组长度为k时，用插入排序，因为插入排序适合对小数组排序。在算法导论思考题2-1中介绍了。复杂度为O(nk+nlg(n/k)) ，当k=O(lgn)时，复杂度为O(nlgn)
五、快速排序
Tony Hoare爵士在1962年发明，被誉为“20世纪十大经典算法之一”。
算法导论中讲解的快速排序的PARTITION是Lomuto提出的，是对Hoare的算法进行一些改变的，而算法导论7-1介绍了Hoare的快排。
特性：unstable sort、In-place sort。
最坏运行时间：当输入数组已排序时，时间为O(n^2)，当然可以通过随机化来改进（shuffle array 或者 randomized select pivot）,使得期望运行时间为O(nlgn)。
最佳运行时间：O(nlgn)
快速排序的思想也是分治法。
当输入数组的所有元素都一样时，不管是快速排序还是随机化快速排序的复杂度都为O(n^2)，而在算法导论第三版的思考题7-2中通过改变Partition函数，从而改进复杂度为O(n)。
注意：只要partition的划分比例是常数的，则快排的效率就是O(nlgn)，比如当partition的划分比例为10000:1时（足够不平衡了），快排的效率还是O(nlgn)
“A killer adversary for quicksort”这篇文章很有趣的介绍了怎么样设计一个输入数组，使得quicksort运行时间为O(n^2)。
伪代码：
随机化partition的实现：
改进当所有元素相同时的效率的Partition实现：
证明算法正确性：
对partition函数证明循环不变式：A[p...i]的所有元素小于等于pivot，A[i+1...j-1]的所有元素大于pivot。
初始：i=p-1,j=p，因此A[p...p-1]=空，A[p...p-1]=空，因此成立。
保持：当循环开始前，已知A[p...i]的所有元素小于等于pivot，A[i+1...j-1]的所有元素大于pivot，在循环体中，
- 如果A[j]>pivot，那么不动，j++，此时A[p...i]的所有元素小于等于pivot，A[i+1...j-1]的所有元素大于pivot。
- 如果A[j]<=pivot，则i++，A[i+1]>pivot，将A[i+1]和A[j]交换后，A[P...i]保持所有元素小于等于pivot，而A[i+1...j-1]的所有元素大于pivot。
终止：j=r，因此A[p...i]的所有元素小于等于pivot，A[i+1...r-1]的所有元素大于pivot。
六、堆排序
1964年Williams提出。
特性：unstable sort、In-place sort。
最优时间：O(nlgn)
最差时间：O(nlgn)
此篇文章介绍了堆排序的最优时间和最差时间的证明：http://blog.csdn.net/xiazdong/article/details/8193625
思想：运用了最小堆、最大堆这个数据结构，而堆还能用于构建优先队列。
优先队列应用于进程间调度、任务调度等。
堆数据结构应用于Dijkstra、Prim算法。
证明算法正确性：
（1）证明build_max_heap的正确性：
循环不变式：每次循环开始前，A[i+1]、A[i+2]、...、A[n]分别为最大堆的根。
初始：i=floor(n/2)，则A[i+1]、...、A[n]都是叶子，因此成立。
保持：每次迭代开始前，已知A[i+1]、A[i+2]、...、A[n]分别为最大堆的根，在循环体中，因为A[i]的孩子的子树都是最大堆，因此执行完MAX_HEAPIFY(A,i)后，A[i]也是最大堆的根，因此保持循环不变式。
终止：i=0，已知A[1]、...、A[n]都是最大堆的根，得到了A[1]是最大堆的根，因此证毕。
（2）证明heapsort的正确性：
循环不变式：每次迭代前，A[i+1]、...、A[n]包含了A中最大的n-i个元素，且A[i+1]<=A[i+2]<=...<=A[n]，且A[1]是堆中最大的。
初始：i=n，A[n+1]...A[n]为空，成立。
保持：每次迭代开始前，A[i+1]、...、A[n]包含了A中最大的n-i个元素，且A[i+1]<=A[i+2]<=...<=A[n]，循环体内将A[1]与A[i]交换，因为A[1]是堆中最大的，因此A[i]、...、A[n]包含了A中最大的n-i+1个元素且A[i]<=A[i+1]<=A[i+2]<=...<=A[n]，因此保持循环不变式。
终止：i=1，已知A[2]、...、A[n]包含了A中最大的n-1个元素，且A[2]<=A[3]<=...<=A[n]，因此A[1]<=A[2]<=A[3]<=...<=A[n]，证毕。
七、计数排序
特性：stable sort、out-place sort。
最坏情况运行时间：O(n+k)
最好情况运行时间：O(n+k)
当k=O(n)时，计数排序时间为O(n)
伪代码：
八、基数排序
本文假定每位的排序是计数排序。
特性：stable sort、Out-place sort。
最坏情况运行时间：O((n+k)d)
最好情况运行时间：O((n+k)d)
当d为常数、k=O(n)时，效率为O(n)
我们也不一定要一位一位排序，我们可以多位多位排序，比如一共10位，我们可以先对低5位排序，再对高5位排序。
引理：假设n个b位数，将b位数分为多个单元，且每个单元为r位，那么基数排序的效率为O[(b/r)(n+2^r)]。
当b=O(nlgn)，r=lgn时，基数排序效率O(n)
比如算法导论习题8.3-4：说明如何在O(n)时间内，对0~n^2-1之间的n个整数排序？
答案：将这些数化为2进制，位数为lg(n^2)=2lgn=O(lgn)，因此利用引理，b=O(lgn)，而我们设r=lgn，则基数排序可以在O(n)内排序。
基数排序的例子：
证明算法正确性：
通过循环不变式可证，证明略。
九、桶排序
假设输入数组的元素都在[0,1)之间。
特性： out-place sort、stable sort 。
最坏情况运行时间：当分布不均匀时，全部元素都分到一个桶中，则O(n^2)，当然[算法导论8.4-2]也可以将插入排序换成堆排序、快速排序等，这样最坏情况就是O(nlgn)。
最好情况运行时间：O(n)
桶排序的例子：
![\"\"](\"https://img.it610.com/image/info8/9b4a4e4848384acb84f3e0ed65bcbe4d.jpg\")
伪代码：
![\"\"](\"https://img.it610.com/image/info8/27dac7735c2d4882b90fcd44322e801f.jpg\")
证明算法正确性：
对于任意A[i]<=A[j]，且A[i]落在B[a]，A[j]落在B[b]，我们可以看出a<=b，因此得证。