随机信号AR模型及MATLAB实现

随机信号的参数建模法

为随机信号建立参数模型是研究随机信号的一种基本方法，其含义是认为随机信号x(n)是由白噪声w(n)激励某一确定系统的响应。只要白噪的参数确定了，研究随机信号就可以转化成研究产生随机信号的系统。

对平稳随机信号，三种常用的线性模型分别是 AR 模型（自回归模型 Auto-regression model），MA 模型（滑动平均模型 Moving average model）和 ARMA 模型（自回归滑移平均模型 Auto-regression-Moving average model）。这里主要介绍AR模型及其MATLAB实现。

AR 模型

随机信号x(n) 由本身的若干次过去值x(n-k)和当前的激励值w(n)线性组合产生：

该模型的系统函数是：

p 是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，
要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用 AR（ p ）来表示。

AR 模型参数和自相关函数的关系

实例分析：

解：
a.可得模型参数{ak}，a1=-14/24，a2=-9/24，a3=1/24，代入

利用自相关函数的偶对称，得到一个 4×4 的的矩阵：

利用MATLAB程序：

a = [-14 / 24, -9 / 24, 1 / 24];
A = [1, a(1), a(2), a(3);...
     a(1), 1 + a(2), a(3), 0;...
     a(2), a(1)+a(3), 1, 0;...
     a(3), a(2), a(1), 1];
b = [1; 0; 0; 0];
Rxx = A \\ b;

求得：

Rxx =
    4.9377
    4.3287
    4.1964
    3.8654

即Rxx(0)= 4.9377， Rxx(1)＝4.3287， Rxx(2)＝4.1964， Rxx(3)＝3.8654
再根据

利用MATLAB程序：

for m = 5 : 6
    Rxx(m) = 0;
    for k = 1 : 3
        Rxx(m) = Rxx(m) - a(k) * Rxx(m - k);
    end
end
Rxx

求得：

Rxx =
    4.9377
    4.3287
    4.1964
    3.8654
    3.6481
    3.4027

即Rxx(4)=3.6481，Rxx(5)=3.4027
b. 现已知Rxx(0)~Rxx(5)，根据

利用MATLAB程序：

R = [Rxx(1) Rxx(2) Rxx(3) Rxx(4);...
     Rxx(2) Rxx(1) Rxx(2) Rxx(3);...
     Rxx(3) Rxx(2) Rxx(1) Rxx(2);...
     Rxx(4) Rxx(3) Rxx(2) Rxx(1)];
R \\ b

求得：

ans =

    1.0000
   -0.5833
   -0.3750
    0.0417

即a1＝-0.5833，a2＝ -0.3750，a3＝0.0417，σ＾2＝１
ｃ.　根据

利用MATLAB程序：

xn = [0.4282 1.1454 1.5597 1.8994 1.6854 2.3075 2.4679 1.9790...
      1.6063 1.2804 -0.2083 0.0577 0.0206 0.3572 1.6572 0.7488...
      1.6666 1.9830 2.6914 1.2521 1.8691 1.6855 0.6242 0.1763...
      1.3490 0.6955 1.2941 1.0475 0.4319 0.0312 0.5802 -0.6177];

Rxx_obs = xcorr(xn) ./ length(xn);
Rxx_obs = Rxx_obs(length(xn) : end)

求得：

Rxx_obs =
 
   列 1 至 8
 
     1.9271    1.6618    1.5381    1.3545    1.1349    0.9060    0.8673    0.7520
 
   列 9 至 16
 
     0.7637    0.8058    0.8497    0.8761    0.9608    0.8859    0.7868    0.7445
 
   列 17 至 24
 
     0.6830    0.5808    0.5622    0.5134    0.4301    0.3998    0.3050    0.2550
 
   列 25 至 32
 
     0.1997    0.1282    0.0637    0.0329   -0.0015   -0.0089   -0.0143   -0.0083

再将求出的Rxx(0)~Rxx(3)代入

求得：
a1＝－0.6984，a2＝ －0.2748，a3＝0.0915，σ^2＝0.4678
与真实 AR 模型参数误差为： e1＝0.1151， e2＝0.1002， e3＝0.0498，原因在于我们只有一部分的观测数据，使得自相关序列值与理想的完全不同。输入信号的方差误差比较大： eσ＝0.5322，原因之一是计算机仿真的白噪声只有 32 点长，32 点序列的方差不可能刚好等于 1。当给出一段观测值求 AR 模型参数这样直接解方程组，阶数越高时直接解方程组计算就越复杂，因而要用特殊的算法使得计算量减小且精确度高。