AHP | 层次分析法原理及Python实现

层次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP)由美国运筹学家托马斯·塞蒂(T. L. Saaty)于20世纪70年代中期提出，用于确定评价模型中各评价因子/准则的权重，进一步选择最优方案。该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是拍脑门决定的，一致性检验只是检验拍脑门有没有自相矛盾得太离谱。

目录

1. AHP模型构建

2. AHP单排序

  2.1. 构造判断/比较矩阵

  2.2. 计算因子/准则权重

  2.3. 一致性检验

3. AHP总排序

参考文献

1. AHP模型构建

在深入分析问题的基础上，将决策的目标、考虑的因素和决策对象按相关关系分为最高层、中间层和最低层。

• 最高层：决策的目的、要解决的问题
• 中间层：主因素，考虑的因素、决策的准则
• 最低层：决策时的备选方案，也可为中间层的子因素

层次分析法的多级递阶层次模型分为三类：完全相关性结构(上层每一因素与下层所有因素均有联系)、完全独立性结构(上层每一因素都有独立的下层要素)、混合型结构(前述两种结构的混合结构)。本例为完全独立性结构，如下图。

2. AHP单排序

层次分析法涉及多层次的因素打分与赋权，首先针对中间层的主因素进行AHP单排序。

2.1. 构造判断/比较矩阵

通过各因素之间的两两比较确定合适的标度：将不同因素(因素 iii与 因素jjj)两两作比获得的值aija_{ij}aij​  填入到矩阵MMM的iii行jjj列的位置，成对比较矩阵中的取值可aija_{ij}aij​参考Satty的提议，如下表所示。

因素i比因素j分值

同等重要1稍微重要3较强重要5强烈重要7极端重要9两相邻判断的中间值2，4，6，8

本例的中间层主因素有经济提升、住房改善、保障改善、社区福利、改革参与 心理改善，构建矩阵的如下表所示。对角线上恒定为1， 因为是和自己做比。

评价经济提升住房改善保障改善社区福利改革参与心理改善

经济提升1a ₁₂a ₁₃a ₁₄a ₁₅a ₁₆住房改善a ₂₁1a ₂₃a ₂₄a ₂₅a ₂₆保障改善a ₃₁a ₃₂1a ₃₄a ₃₅a ₃₆社区福利a ₄₁a ₄₂a ₄₃1a ₄₅a ₄₆改革参与a ₅₁a ₅₂a ₅₃a ₅₄1a ₅₅心理改善a ₆₁a ₆₂a ₆₃a ₆₄a ₆₅1

对上表进行简化即可获得如下矩阵，该矩阵称为判断/比较矩阵：

M=(a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25a31a32a33a34a35a41a42a43a44a45a51a52a53a54a55)

M=\\left(\\begin{array}{lllll}

{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} & {a_{14}} & {a_{15}} \\\\

{a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} & {a_{24}} & {a_{25}} \\\\

{a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}} & {a_{34}} & {a_{35}} \\\\

{a_{41}} & {a_{42}} & {a_{43}} & {a_{44}} & {a_{45}} \\\\

{a_{51}} & {a_{52}} & {a_{53}} & {a_{54}} & {a_{55}}

\\end{array}\\right)

M=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​a11​a21​a31​a41​a51​​a12​a22​a32​a42​a52​​a13​a23​a33​a43​a53​​a14​a24​a34​a44​a54​​a15​a25​a35​a45​a55​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​

2.2. 计算因子/准则权重

显然判断矩阵MMM是正互反矩阵，即满足以下条件：

(i)aij>0,(ii)aji=1aij(i,j=1,2,⋯ ,n)

(\\mathrm{i}) \\quad a_{i j}>0, \\quad(\\mathrm{ii}) \\quad a_{j i}=\\frac{1}{a_{i j}} \\quad(i, j=1,2, \\cdots, n)

(i)aij​>0,(ii)aji​=aij​1​(i,j=1,2,⋯,n)

进一步，将满足以下条件的正互反矩阵称为一致性矩阵：

aijajk=aik,∀i,j,k=1,2,⋯n

a_{i j} a_{j k}=a_{i k}, \\quad \\forall i, j, k=1,2, \\cdots n

aij​ajk​=aik​,∀i,j,k=1,2,⋯n

直观的理解：如果i对j的重要程度是a，j对k的重要程度是b，那么i对k的重要程度应该a*b，类似于传递性。

一致性矩阵具有如下重要性质：若一致性矩阵RRR的最大特征值λmax⁡\\lambda_{\\max }λmax​对应的特征向量为W=(w1,⋯ ,wn)TW=\\left(w_{1}, \\cdots, w_{n}\\right)^{T}W=(w1​,⋯,wn​)T,  则aij=wiwja_{i j}=\\frac{w_{i}}{w_{j}}aij​=wj​wi​​。

结合判断矩阵的构建可知**aija_{ij}aij​表示因素iii相对于因素jjj的重要性，而aij=wiwja_{i j}=\\frac{w_{i}}{w_{j}}aij​=wj​wi​​，因此可以将wiw_{i}wi​与wjw_jwj​分别作为因素iii与因素jjj的绝对重要性,也即因素iii与因素jjj的权重，从而WWW即为各因素的权重向量**。还须对向量WWW进行归一化处理：每个权重除以权重和作为自己的值，最终总和为1。

然而判断矩阵MMM一般不满足一致性，但是仍将其当做一致矩阵来处理，从而获得一组权重，但是这组权重能不能被接受，需要进行一致性检验。

2.3. 一致性检验

一致性检验是指对判断矩阵MMM确定不一致的允许范围。nnn阶一致阵的唯一非零特征根为nnn，nnn阶正互反阵MMM的最大特征根 λmax≥n\\lambda_{max} \\geq nλmax​≥n时，MMM为非一致矩阵，λmax\\lambda_{max}λmax​比nnn 大的越多，MMM的不一致性越严重； 当且仅当 λmax=n\\lambda_{max} = nλmax​=n时，MMM为一致矩阵。因此可由λmaxλ_{max}λmax​ 是否等于 n 来检验判断矩阵MMM是否为一致矩阵。

具体的一致性指标用CICICI计算，CICICI越小，说明一致性越大。CI=0CI=0CI=0，有完全的一致性；CICICI 接近于0，有满意的一致性；CI 越大，不一致越严重。

CI=λmax⁡−nn−1

CI=\\frac{\\lambda_{\\max }-n}{n-1}

CI=n−1λmax​−n​

考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此引入随机一致性指标RIRIRI衡量随机因素所造成的一致性偏离的大小：

RI=CI1+CI2+⋯+CInn

R I=\\frac{C I_{1}+C I_{2}+\\cdots+C I_{n}}{n}

RI=nCI1​+CI2​+⋯+CIn​​

随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，RIRIRI指标通过查表获得：

矩阵阶数 n12345678910

RI000.580.901.121.241.321.411.451.49

最终使用的检验统计量为检验系数CR，公式如下：

CR=CIRI

CR=\\frac{CI}{RI}

CR=RICI​

当CR<0.10CR<0.10CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则须要对判断矩阵作适当修正。

---

以下为AHP单排序的示例代码

import numpy as np

class AHP:

#传入的np.ndarray是的判断矩阵

def __init__(self,array):

self.array = array

# 记录矩阵大小

self.n = array.shape[0]

# 初始化RI值,用于一致性检验

RI_list = [0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]

self.RI = RI_list[self.n-1]

#获取最大特征值和对应的特征向量

def get_eig(self):

#numpy.linalg.eig() 计算矩阵特征值与特征向量

eig_val ,eig_vector = np.linalg.eig(self.array)

#获取最大特征值

max_val = np.max(eig_val)

max_val = round(max_val.real, 4)

#通过位置来确定最大特征值对应的特征向量

index = np.argmax(eig_val)

max_vector = eig_vector[:,index]

max_vector = max_vector.real.round(4)

#添加最大特征值属性

self.max_val = max_val

#计算权重向量W

weight_vector = max_vector/sum(max_vector)

weight_vector = weight_vector.round(4)

#打印结果

print(\"最大的特征值: \"+str(max_val))

print(\"对应的特征向量为: \"+str(max_vector))

print(\"归一化后得到权重向量: \"+str(weight_vector))

return weight_vector

#测试一致性

def test_consitst(self):

#计算CI值

CI = (self.max_val-self.n)/(self.n-1)

CI = round(CI,4)

#打印结果

print(\"判断矩阵的CI值为\" +str(CI))

print(\"判断矩阵的RI值为\" +str(self.RI))

#分类讨论

if self.n == 2:

print(\"仅包含两个子因素，不存在一致性问题\")

else:

#计算CR值

CR = CI/self.RI

CR = round(CR,4)

#CR < 0.10才能通过检验

if  CR < 0.10 :

print(\"判断矩阵的CR值为\" +str(CR) + \"，通过一致性检验\")

return True

else:

print(\"判断矩阵的CR值为\" +str(CR) + \"，未通过一致性检验\")

return False

3. AHP总排序

总排序本质上是对最底层重复AHP单排序过程，此处不再赘述，仅给出子因素总权重计算公式以及一致性检验统计量公式。

若中间层AAA包含mmm个因素主因素{A1,A2,...,Am}\\{A_1, A_2, ..., A_m\\}{A1​,A2​,...,Am​}，其层次总排序权值分别为(a1,a2,...,am)(a_1, a_2, ..., a_m)(a1​,a2​,...,am​)，最底层BBB包含nnn个子因素{B1,B2,...,Bm}\\{B_1, B_2, ..., B_m\\}{B1​,B2​,...,Bm​}，它们对于因素AjA_jAj​的层次单排序权值分别为(b1j,b2j,...,bmj)(b_{1j}, b_{2j}, ..., b_{mj})(b1j​,b2j​,...,bmj​)。当BiB_iBi​与AjA_jAj​无联系时，bij=0b_{ij}=0bij​=0。则最底层的子因素BiBiBi总权重公式为

Wbi=∑j=1m∑i=1nbijaj

W_{bi} = \\sum_{j=1}^{m} \\sum_{i=1}^{n}b_{i j} a_{j}

Wbi​=j=1∑m​i=1∑n​bij​aj​

用CI(j)CI(j)CI(j)与RI(j)RI(j)RI(j)分别表示对主因素AjA_jAj​对应的子因素BijB_{ij}Bij​进行单排序所计算的CICICI与RIRIRI值，则一致性检验公式为：

CR=∑j=1mCI(j)aj∑j=1mRI(j)aj

C R=\\frac{\\sum_{j=1}^{m} C I(j) a_{j}}{\\sum_{j=1}^{m} R I(j) a_{j}}

CR=∑j=1m​RI(j)aj​∑j=1m​CI(j)aj​​

参考文献

[1] 百度百科. 层次分析法[EB/OL].  https://baike.baidu.com/item/层次分析法/1672?fr=aladdin.

[2] 吃机智豆长大的少女乙. 数学建模之层次分析法(AHP)[EB/OL]. https://blog.csdn.net/weixin_41806692/article/details/82415621, 2018-09-05.

[3] 杜世平, 汪建, 马文彬. 层次模糊综合评价法在校园环境质量评价中的应用[J]. 安徽农业科学, 2008, 36(10).

[4] Blue Mountain. 建模算法(十一)——层次分析法[EB/OL]. https://www.cnblogs.com/BlueMountain-HaggenDazs/p/4278049.htmlxu, 2015-02-06.

[5] pwtd_huran. Python实现AHP(层次分析法)[EB/OL].  https://blog.csdn.net/pwtd_huran/article/details/80405807, 2018-05-22.

[6] SPSSAU. 模糊综合评价法如何在软件中操作？[EB/OL]. https://www.zhihu.com/question/29715379/answer/654379638, 2019-04-17.

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