发布时间:2024-02-22 08:00
一、什么是哈夫曼树?
哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树,也称为最优二叉树。用一幅图来说明:
它们的带权路径长度分别为:
图a: WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54
图b: WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48
可见,图b的带权路径长度较小,可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。
二、如何构建哈夫曼树
一般按下面步骤构建:
1,将所有左,右子树都为空的作为根节点。
2,在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左,右子树,且置新树的附加根节点的权值为其左,右子树上根节点的权值之和。注意,左子树的权值应小于右子树的权值。
3,从森林中删除这两棵树,同时把新树加入到森林中。
4,重复2,3步骤,直到森林中只有一棵树为止,此树便是哈夫曼树。
下面是构建哈夫曼树的图解过程:
三、哈夫曼编码
利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径,对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示\"0\"码,指向右子树的分支表示\"1\"码,取每条路径上的\"0\"或\"1\"的序列作为各个叶子节点对应的字符编码,即是哈夫曼编码。
上图例子来说:
A,B,C,D对应的哈夫曼编码分别为:111,10,110,0
用图说明如下:
记住,设计电文总长最短的二进制前缀编码,就是以n个字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树,由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码。
四、算法实现
/**
* 实验题目:
* 构造哈夫曼树和生成哈夫曼编码
* 实验目的:
* 领会哈夫曼的构造过程以及哈夫曼编码的生成过程
* 实验内容:
* 设计程序,构造一颗哈夫曼树,输出对应的哈夫曼
* 编码和平均查找长度。并用如下数据进行验证:
* 单词以及出现的频度
* The of a to and in that he is at on for His are be
* 1192 677 541 518 462 450 242 195 190 181 174 157 138 124 123
* 备注:二叉树中叶子结点个数为n,则二叉树中结点总数为(2 * n - 1)
*/
#include
#include
#define N (50) // 树中叶子结点数最大值
#define M (2 * N - 1) // 树中结点总数最大值
typedef struct
{
char data[5]; // 结点值
int weight; // 权重
int parent; // 双亲结点
int lchild; // 左孩子结点
int rchild; // 右孩子结点
}HTNode; // 声明哈夫曼树结点类型
typedef struct
{
char cd[N]; // 存放哈夫曼编码
int start;
}HCode; // 声明哈夫曼编码类型
/*-------------由含有n个叶子结点的ht构造完整的哈夫曼树-----------------*/
static void create_huffman_tree(HTNode ht[], int n)
{
int i;
int k;
int lnode;
int rnode;
int min1;
int min2;
// 所有结点的相关域设置初值为-1
for(i = 0; i < 2 * n - 1; i++)
ht[i].parent = ht[i].lchild = ht[i].rchild = -1;
for(i = n; i < 2 * n - 1; i++) // 构造哈夫曼树的分支结点
{
min1 = min2 = 32767;
lnode = rnode = -1;
for(k = 0; k <= i - 1; k++) // 查找最小和次小的结点
{
if(ht[k].parent == -1) // 只在尚未构造二叉树的结点中查找
{
if(ht[k].weight < min1)
{
min2 = min1;
rnode = lnode;
min1 = ht[k].weight;
lnode = k;
}
else if(ht[k].weight < min2)
{
min2 = ht[k].weight;
rnode = k;
}
}
}
ht[lnode].parent = i; // 合并两个最小和次小的结点
ht[rnode].parent = i;
ht[i].weight = ht[lnode].weight + ht[rnode].weight; // 计算双亲结点的权重
ht[i].lchild = lnode; // 设置双亲结点的左孩子
ht[i].rchild = rnode; // 设置双亲结点的右孩子
}
}
/*-------------由哈夫曼树ht构造哈夫曼编码hcd-----------------*/
static void create_huffman_code(HTNode ht[], HCode hcd[], int n)
{
int i;
int f;
int c;
HCode hc;
for(i = 0; i < n; i++) // 根据哈夫曼树构造所有叶子结点的哈夫曼编码
{
hc.start = n;
c = i;
f = ht[i].parent;
while(f != -1) // 循环直到树根结点
{
if(ht[f].lchild == c) // 处理左孩子结点
hc.cd[hc.start--] = \'0\';
else // 处理右孩子结点
hc.cd[hc.start--] = \'1\';
c = f;
f = ht[f].parent;
}
hc.start++; // start指向哈夫曼编码最开始字符
hcd[i] = hc;
}
}
/*-------------输出哈夫曼编码-----------------*/
static void display_huffman_code(HTNode ht[], HCode hcd[], int n)
{
int i;
int k;
int sum = 0;
int m = 0;
int j;
printf(\"输出哈夫曼编码:\\n\");
for(i = 0; i < n; i++)
{
j = 0;
printf(\" %s:\\t\", ht[i].data);
for(k = hcd[i].start; k <= n; k++)
{
printf(\"%c\", hcd[i].cd[k]);
j++;
}
m += ht[i].weight;
sum += ht[i].weight * j;
printf(\"\\n\");
}
printf(\"\\n平均长度 = %g\\n\", 1.0 * sum / m);
}
int main(void)
{
int n = 15;
int i;
HTNode ht[M];
HCode hcd[N];
char *str[] = {\"The\", \"of\", \"a\", \"to\", \"and\", \"in\", \"that\", \"he\", \"is\", \"at\", \"on\", \"for\", \"His\", \"are\", \"be\"};
int fnum[] = {1192, 677, 541, 518, 462, 450, 242, 195, 190, 181, 174, 157, 138, 124, 123};
for(i = 0; i < n; i++)
{
strcpy(ht[i].data, str[i]);
ht[i].weight = fnum[i];
}
create_huffman_tree(ht, n); // 创建哈夫曼树
create_huffman_code(ht, hcd, n); // 构造哈夫曼编码
display_huffman_code(ht, hcd, n); // 输出哈夫曼编码
return 0;
}
测试结果:
输出哈夫曼编码:
The: 01
of: 101
a: 001
to: 000
and: 1110
in: 1101
that: 11110
he: 11001
is: 11000
at: 10011
on: 10010
for: 10001
His: 10000
are: 111111
be: 111110
平均长度 = 3.56208