函数逼近

1、曲线拟合：又称为函数逼近，也是求近似函数的一类数值方法，它不要求近似函数在节点处与函数同值，即不要求近似曲线过已知点，只要求尽可能反映给定数据点的基本趋势。

2、假设a_0,a_1已经确定，y_i^* =a_1x+a_0是由近似函数得到的近似值，它与观测值y_i之差成为残差，残差的大小可以作为衡量近似函数好坏的标准。

常用的准则有以下三种：
(1)使残差的绝对值之和最小，即∑|δ_i|=min；
(2)最佳一致逼近——使残差的最大绝对值最小，即max|δ_i|=min；
(3)最佳平方逼近——使残差的平方和最小，即∑δ_i²=min；

3、数据拟合的最小二乘法：根据给定的数据组(x_i,y_i)，选取近似函数形式，即给定函数类H，求函数φ(x)∈H,使得下式最小

这种求近似函数的方法称为数据拟合的最小二乘法，函数φ(x)称为这组数据的最小二乘函数。

4、多项式拟合——

这是最小二乘拟合多项式的系数a_k（k=0,1,…,m）应满足的方程组，称为正则方程组或法方程组，该方程组存在唯一解，且解所对应的多项式必定是已给数据组（x_i，y_i）的最小二乘m次拟合多项式。

5、指数拟合——如果数据点的分布近似指数曲线，可以考虑用指数函数y=be^ax去拟合数据，按照最小二乘原理，a、b的选取应使得F(a,b)=∑(y_i - be^ax_i)²最小。由此导出的正则方程组是关于参数a,b的非线性方程组，称为非线性最小二乘问题。
求解时作变换У=ln y，则有ln y = ax + ln b，先求出数据组（x_i,ln y_i）的最小二乘拟合直线У = a_0 + a_1x，取指数即得数据组（x_i,y_i）的最小二乘拟合指数y = e^a_0+a_1x= e^a_0 e^a_1x。同理，分式线性拟合求解时作变换У=1/y=ax+b，然后取倒数得到原数据组最小二乘拟合函数。

6、求数据组的最小二乘拟合函数的步骤：
（1）由给定数据确定近似函数的表达形式，一般可以通过描点观察或经验估计得到；
（2）按最小二乘原则确定表达式中的参数，即由偏差平方和最小导出正则方程组求解得到参数，一些简单的非线性最小二乘问题通常需要先作变换将问题化为线性最小二乘问题再求解。
【注】实际问题中由于各点的观测数据精度不同，常常引入加权方差，即确定参数的准则为使得∑ω_iδ_i²最小，其中ω_i为加权系数。

7、函数内积——设f(x)、g(x)是区间[a,b]上的连续函数，定义f与g的内积为

函数正交——设f(x)、g(x)是区间[a,b]上的连续函数，若f与g的内积为0，则称f与g在区间[a,b]上正交。

8、正交函数系——

正交多项式系——正交函数系中函数均为代数多项式。

9、勒让德（Legendre）多项式——



10、函数的最佳平方逼近：设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，求多项式φ(x)=a_0+a_1x使得下式最小

即求a_0,a_1使得

φ(x)称为f(x)在区间[a,b]上的一次最佳平方逼近多项式。

11、m次最佳平方逼近多项式