PyTorch从零实现线性回归

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1.线性回归基本概念

线性回归是机器学习中非常常用的模型之一，特别在研究定量数据的问题中，它能分析变量之间的关系，并给出很好的解释。此外，它还是新方法的一个良好起点：许多有趣的统计学习方法可以被视为线性回归的推广或扩展。例如Lasso回归，岭回归，logistic regression，softmax回归。具体理论介绍部分大家可以看我这篇文章：统计学习方法之线性回归详解

简单线性回归模型具体形式可以如下表示：
y = w 1 x 1 + w 2 x 2 + . . . + w n x n + b y = w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n+b y=w1​x1​+w2​x2​+...+wn​xn​+b
写成向量的形式：
Y = W T X + b Y = W^TX+b Y=WTX+b

在我们拿到一堆数据之后，我们要做就是找到最好的参数 W , b W,b W,b，如何找到最好的参数呢？在那之前我们介绍一下损失函数和梯度下降

2.损失函数

损失函数是衡量一个模型拟合的重要指标，表示实际值和拟合值之间的差距，在线性回归中，损失函数也被称作平方误差函数。我们之所以要求出误差的平方和，是因为一般我们认为误差是非负的，而误差绝对值在求导时不太便利，而误差平方损失函数，对于大多数问题，特别是回归问题，都是一个合理的选择。具体定义如下：
L ( W ^ , b ^ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( y ( i ) − W T x ( i ) − b ) 2 L(\\hat{W},\\hat{b})=\\frac{1}{2m}\\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - W^Tx^{(i)}-b)^2 L(W^,b^)=2m1​i=1∑m​(y(i)−WTx(i)−b)2

我们的目标便是选择出可以使得损失函数能够最小的模型参数，因为线性回归是一个很简单的问题，所有大部分情况下都存在解析解，对L求梯度为0的点。为了方便表示，这里我将 b b b也放入到 W W W中，则有：
Y = W T X Y = W^TX Y=WTX
其中， w 0 = b w_0=b w0​=b x 0 = 1 x_0=1 x0​=1,此时对上述求梯度为0后可以得到正规方程解：
W = ( X T X ) − 1 X T y W = (X^TX)^{-1}X^Ty W=(XTX)−1XTy

3.梯度下降

梯度下降是一种优化算法，后续还会介绍一些其他的优化方法，例如Adam，SGD等。本章暂时用梯度下降来计算参数。梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合，计算损失函数，然后我们寻找下一个能让损失函数值下降最多的参数组合。

具体公式如下：
w i : = w i − η d L d w i w_{i} := w_i - \\eta\\frac{dL}{dw_i} wi​:=wi​−ηdwi​dL​

• 1.初始化一组参数值
• 2.在负梯度方向不断更新参数，其中 η \\eta η是学习率，是一个超参数，它决定了我们沿着能让损失函数下降程度最大的方向步长多大，在梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以损失函数的导数。需要我们提前给定。

我们持续这么做直到得到一个局部最小值（local minimum），因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值（global minimum），选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值。此时如何设置合适的 η \\eta η值是需要我们考虑的，如果 η \\eta η太大，则可能到不了最低点，导致无法收敛，如果 η \\eta η太小，那收敛过程太慢，这些细节问题在之后再讨论，接下来我们来看看如何实现一个简单的线性回归模型。

4.Pytorch实现线性回归

导入相关库

import random
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

4.1 生成数据集

为了方便举例，这里使用模拟数据集进行展示。假设样本来自标准正态分布，每个样本有两个特征，我们生成1000个数据集， w = [ 1 , − 1 ] T w=[1,-1]^T w=[1,−1]T, b = 2 b=2 b=2, ϵ \\epsilon ϵ是一个均值为0，标准差为0.1的正态分布

def simulation_data(w,b,n):
    X = torch.normal(0,1,(n,len(w)))#生成标准正态分布
    y = torch.matmul(X, w)+b#计算回归拟合值
    y += torch.normal(0,0.1,y.shape) #加上随机扰动项
    return X,y.reshape((-1,1))
true_w = torch.tensor([-1,1],dtype=torch.float32)
true_b = 2
features, target = simulation_data(true_w,true_b,1000)

此时已经生成好了模拟数据集，下面我们绘制图形观察一下

plt.scatter(features[:,(1)].detach().numpy(),target.detach().numpy(),2)

从上图我可以看出，y和一个特征之间的关系呈现明显的线性关系。

4.2 初始化参数

下面我们开始初始化我们要求的参数,通常将 w w w设置为均值为0的正态分布， b b b设置为0向量

w = torch.normal(0,0.1,(2,1),requires_grad=True)
b = torch.zeros(1,requires_grad=True)

4.3 定义回归模型

初始化参数之后，我们下一步就是开始定义我们的线性回归模型

def reg(X,w,b):
    return torch.matmul(X,w)+b

4.4 计算损失函数

def loss_fun(y_hat,y):
    return(y_hat-y)**2/2/len(y)

4.5 使用梯度下降求解参数

def gd(params,n):
    with torch.no_grad():#在外面不需要求解梯度，只有参数更新的时候求参数
        for param in params:
            param -= n*param.grad#进行梯度下降
            param.grad.zero_()#重新将梯度设置为0，这样就不会受到上一次影响
          

n = 0.01#学习率
num_epochs = 3#训练次数
net = reg
loss = loss_fun
X = features
y = target
for epoch in range(num_epochs):
    l = loss(reg(X,w,b),y)#计算损失函数
    l.sum().backward()#反向传播求梯度
    gd([w,b],n)#更新参数
    with torch.no_grad():
        train = loss(net(features,w,b),target)
        print(f\'epoch{epoch+1},loss：{float(train.mean()):f}\')

epoch1,loss：0.001797
epoch2,loss：0.001763
epoch3,loss：0.001729

由于本例中是模拟数据集，我们知道真实的参数，因此可以计算出参数估计的误差

print(f\'w的误差：{true_w-w.reshape(true_w.shape)}\')
print(f\'b的误差：{true_b-b}\')

w的误差：tensor([-0.8461,  0.8311], grad_fn=)
b的误差：tensor([1.4857], grad_fn=)

大家可以尝试使用其他的学习率，来看一下结果的差异性，一般较常用的是0.01 0.03 0.1 0.3 1

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