梯度下降与一元线性回归

发布时间：2022-08-19 13:42

梯度下降

基本概念

梯度下降法（gradient descent),又名最速下降法（steepest descent)是求解无约束最优化问题最常用的方法。它是一种迭代方法，每一步主要的操作是求解目标函数的梯度向量，将当前位置的负梯度方向作为搜索方向（因为在该方向上目标函数下降最快）

方向导数：方向导数是在函数定义域的点对某一方向求导得到的导数。

梯度：梯度是一个向量，函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快。

公式为：

算法流程

（1）随机初始参数

（2）确定学习率

（3）求出损失函数对参数梯度

（4）按照公式更新参数

（5）重复(3)(4)直到满足终止条件（如：损失函数或参数更新变化值小于某个阈值，或者训练次数达到设定阈值）

例：假设损失函数为：，采用梯度下降法求损失函数的极值，写出在

$\theta$ =0， $\eta$ =0.05下，两轮迭代参数 $\theta$ 的变化过程。

解：（1）初始化： $\theta$ =0， $\eta$ =0.05

（2）计算 $\theta$ =0的梯度： 2( $\theta$ -3)=-6

（3）修改 $\theta$ =0-0.05*(-6)=0.3

（4）abs(0-0.3)>0.0001，转向（2）

（5）计算 $\theta$ =0.3的梯度：2( $\theta$ -3)=2(0.3-3)=-5.4

（6）修改 $\theta$ =0.3-0.05*(-5.4)=0.57

实例:用代码实现梯度下降

1.单元函数求最低点
计算函数

的最低点

（1）手工推导

（2）代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# f的函数
def f(x):
    return x ** 2 * 0.5 - 2 * x + 3
def d_f(x):
    return x - 2

#定义梯度下降法
def gradient_descent():#gradient梯度
    times = 100#迭代数
    alpha = 0.1#学习率
    x = 10#设置的初始值
    x_axis = np.linspace(-10,10)#设定x轴的坐标系
    fig = plt.figure(1,figsize=(5,5))#设定画布的大小
    ax = fig.add_subplot(1,1,1)#设定画布内只有一个图
    ax.set_xlabel('X',fontsize=14)
    ax.set_ylabel('Y',fontsize=14)
    ax.plot(x_axis,f(x_axis))#作图
    #进行迭代
    for i in range(times):
        x1 = x
        y1 = f(x)
        print("第%d次迭代：x=%f,y=%f" % (i+1,x,y1))
        x = x - alpha * d_f(x)#更新x
        y = f(x)
        ax.plot([x1,x],[y1,y],'ko',lw=1,ls='-',color='coral')
    plt.show()
if __name__ == "__main__":
    gradient_descent()

对if __name__ == "__main__"的理解
参考：https://blog.csdn.net/xiaoxik/article/details/78749361

代码运行结果：

2.多元函数求最低点

计算函数的最低点

（1）手工推导

（2）代码实现：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
def f(x,y):
    return (x - 10)**2 + (y - 10)**2
def d_fx(x,y):
    return 2 * (x - 10)
def d_fy(x,y):
    return 2 * (y - 10)

def gradient_descent():
    times=100
    alpha=0.1
    x=20
    y=20
    fig = Axes3D(plt.figure())
    x_axis = np.linspace(0,20,100)
    y_axis = np.linspace(0,20,100)
    x_axis, y_axis = np.meshgrid(x_axis, y_axis)#将数据转化为网格数据
    z = f(x_axis,y_axis)
    fig.set_xlabel('X',fontsize=14)
    fig.set_ylabel('Y',fontsize=14)
    fig.set_zlabel('Z',fontsize=14)
    fig.view_init(elev=60,azim=300)#设置3D图的俯视角度，方便查看梯度下降曲线
    fig.plot_surface(x_axis,y_axis,z,rstride=1,cstride=1,cmap=plt.get_cmap('rainbow'))#作出底图
    #计算极值

    for i in range(times):
        x1 = x
        y1 = y
        z1 = f(x,y)
        print("第%d次迭代：x=%f,y=%f,z=%f" %(i+1,x1,y1,z1))
        x = x - alpha * d_fx(x,y)
        y = y - alpha * d_fx(x,y)
        z= f(x,y)
        fig.plot([x1,x],[y1,y],[z1,z],'ko',lw=2,ls='-')
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    gradient_descent()

代码运行结果：

批量梯度下降（BGD)

批量梯度下降算法需要计算整个训练集的梯度，即：

其中 $\eta$ 为学习率，用来控制更新的“力度/步长”。

优点：对于凸目标函数，可以保证全局最优；对于非凸目标函数，可以保证一个局部最优。

缺点：速度慢；数据量大时不可行；无法在线优化（即无法处理动态产生的新样本）。

随机梯度下降（SGD)

随机梯度下降算法，仅计算某个样本的梯度，即针对某一个训练样本xi及其label yi 更新及其参数：

逐步减小学习率，SGD表现得同BGD很相似，最后都可以有不错的收敛。

优点:更新频次快，优化速度更快；可以在线优化（可以处理动态产生的新样本）；一定的随机性导致有几率跳出局部最优（随机性来自于用一个样本的梯度去代替整体样本的梯度）。

缺点：随机性可能导致收敛复杂化，即使到达最优点仍然会进行过度优化，因此SGD的优化过程相比BGD充满动荡。

一元线性回归

线性回归概念

回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析;如果回归分析中包括两个或者两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

一元线性回归其实就是从一堆训练集中去算出一条直线，使数据集到直线之间的距离差最小。

最简单的模型如图所示：

下面两个模型都是线性回归模型

原理引入

唯一特征x，共有m=500个数据数量，Y是实际结果，要从中找到一条直线，使数据集到直线之间的距离差最小，如下图所示：

那要如何完成这个操作呢？

思路如下：

先假设一条直线：

可以将特征X中每一个都带入其中，得到对应的，定义可以将损失定义为和之间的差值平方的和：

为了之后的计算将其改为：

接下来只需求出的最小值即可

实例：

波士顿房价

使用梯度下降求解线性回归（求，）

代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
from math import pow
from random import uniform
import random

x0 = [150,200,250,300,350,400,600]
y0 = [6450,7450,8450,9450,11450,15450,18450]
#为了计算方便，将所有数据缩小100倍
x = [1.5,2,2.5,3,3.5,4,6]
y = [64.5,74.5,84.5,94.5,114.5,154.5,184.5]

#线性回归函数为y=theta0 + theta1*x
#参数定义
theta0 = 0.1#对theta赋值
theta1 = 0.1#对theta赋值
alpha = 0.1#学习率
m = len(x)
count0 = 0
theta0_list = []
theta1_list = []

#使用批量梯度下降法
for num in range(10000):
    count0 +=1
    diss = 0#误差
    deriv0 = 0
    deriv1 = 0
    #求导
    for i in range(m):
        deriv0 +=(theta0+theta1*x[i]-y[i])/m
        deriv1 +=((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m)*x[i]

    #更新theta0和theta1
    for i in range(m):
        theta0 = theta0 - alpha*(theta0+theta1*x[i]-y[i])/m
        theta1 = theta1 - alpha*((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m)*x[i]

    #求损失函数J()
    for i in range(m):
        diss = diss + (1/(2*m))*pow((theta0+theta1*x[i]-y[i]),2)

    theta0_list.append(theta0*100)
    theta1_list.append(theta1)
    #如果误差已经很小，则退出循环
    if diss<=100:
        break
theta0 = theta0*100#前面所有数据缩小了100倍，所以求出来的theta0需要放大100倍，theta1不用变

#使用随机梯度下降法
theta2 = 0.1
theta3 = 0.1
count1 = 0
theta2_list = []
theta3_list = []

for num in range(10000):
    count1 += 1
    diss = 0  # 误差
    deriv2 = 0
    deriv3 = 0
    # 求导
    for i in range(m):
        deriv2 += (theta2 + theta3 * x[i] - y[i]) / m
        deriv3 += ((theta2 + theta3 * x[i] - y[i]) / m) * x[i]
    # 更新theta2和theta3
    for i in range(m):
        theta2 = theta2 - alpha * (theta2 + theta3 * x[i] - y[i]) / m
        theta1 = theta1 - alpha * ((theta2 + theta3 * x[i] - y[i]) / m) * x[i]
    # 求损失函数J()
    rand_i = random.randint(0,m)
    diss = diss + (1 / (2 * m)) * pow((theta2 + theta3 * x[i] - y[i]), 2)

    theta2_list.append(theta2 * 100)
    theta3_list.append(theta3)
    # 如果误差已经很小，则退出循环
    if diss <= 0.001:
        break
theta2 = theta2 * 100

print("批量梯度下降最终得到theta0={},theta1={}".format(theta0,theta1))
print("得到的回归函数是：y={}+{}*x".format(theta0,theta1))
print("随机梯度下降最终得到theta0={},theta1={}".format(theta2,theta3))
print("得到的回归函数是：y={}+{}*x".format(theta2,theta3))
#画原始数据和函数图
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.plot(x0,y0,'bo',label='数据',color='black')
plt.plot(x0,[theta0+theta1*x for x in x0],label='批量梯度下降',color='red')
plt.plot(x0,[theta2+theta3*x for x in x0],label='随机梯度下降',color='blue')
plt.xlabel('x(面积)')
plt.ylabel('y(价格）')
plt.legend()
plt.show()
plt.scatter(range(count0),theta0_list,s=1)
plt.scatter(range(count0),theta1_list,s=1)
plt.xlabel('上方为theta0,下方为theta1')
plt.show()
plt.scatter(range(count0),theta2_list,s=3)
plt.scatter(range(count0),theta3_list,s=3)
plt.xlabel('上方为theta0,下方为theta1')
plt.show()

运行结果如下：

参考：https://blog.csdn.net/hcxddd/article/details/116396611?spm=1001.2014.3001.5501

梯度下降与一元线性回归

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