一. 注意力评分函数

1. 注意力评分权重

在上篇博客李沐动手学深度学习V2-注意力机制中，使用高斯核来对查询和键之间的关系建模。 将Nadaraya-Watson-Gaussian中的高斯核指数部分视为注意力评分函数（attention scoring function）， 简称评分函数（scoring function）， 然后把这个函数的输出结果输入到softmax函数中进行运算。 通过上述步骤，我们将得到与键对应的值的概率分布（即注意力权重），最后注意力汇聚的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和。
下图说明了 如何将注意力汇聚的输出计算成为值的加权和， 其中 表示注意力评分函数。 由于注意力权重是概率分布， 因此加权和其本质上是加权平均值。

用数学语言描述，假设有一个查询$\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^q$和$m$个“键－值”对$({\mathbf{k}}_1,{\mathbf{v}}_1),\dots ,({\mathbf{k}}_m,{\mathbf{v}}_m)$，其中${\mathbf{k}}_i\in {\mathbb{R}}^k$，${\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^v$。注意力汇聚函数$f$就被表示成值的加权和：

$$f(\mathbf{q},({\mathbf{k}}_1,{\mathbf{v}}_1),\dots ,({\mathbf{k}}_m,{\mathbf{v}}_m))=\sum _{i=1}^m\alpha (\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i){\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^v,$$

其中查询$\mathbf{q}$和键${\mathbf{k}}_i$的注意力权重（标量）是通过注意力评分函数$a$ 将两个向量映射成标量，再经过softmax运算得到的：

$$\alpha (\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i)=\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i))=\frac{\exp (a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i))}{{\sum }_{j=1}^m\exp (a(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_j))}\in \mathbb{R}.$$

从上面公式看出选择不同的注意力评分函数$a$会导致不同的注意力汇聚操作，下面将介绍两个流行的评分函数：加性注意力评分函数和缩放点积注意力评分函数。

2. 掩码softmax操作

上面提到的softmax操作用于输出一个概率分布作为注意力权重。 在某些情况下，并非所有的值都应该被纳入到注意力汇聚中，例如为了在数据集中高效加载处理小批量数据集（每一个样本序列大小形状相同）， 某些文本序列被填充了没有意义的特殊词元。 为了仅将有意义的词元作为值来获取注意力汇聚， 指定一个有效序列长度（即词元的个数）， 以便在计算softmax时过滤掉超出指定范围的位置。 通过这种方式可以在下面的masked_softmax（）函数中实现这样的掩蔽softmax操作（masked softmax operation）， 其中任何超出有效长度的位置（注意力attention权重分数）都被掩蔽并置为0。

import torch
import d2l.torch
import math
from torch import nn
def masked_softmax(X,valid_lens):
    """通过在最后一个轴上掩蔽元素来执行softmax操作"""
    # X:3D张量，X也即是根据query和keys计算出来的attention分数，valid_lens:1D或2D张量，表示把与填充的keys计算出来的attention分数过滤掉，设置为很小的数-1e6,过滤掉后最后再进行计算softmax,使对填充的keys的attention权重为0
    shape = X.shape
    if valid_lens is None:
        return nn.functional.softmax(X,dim=-1)
    else:
        if valid_lens.dim() == 1:
            #valid_lens如果为1维则valid_lens第一个元素表示对X中第一个样本序列所有样本的valid_lens都是相同的，都是为valid_lens第一个元素长度
            valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens,shape[1])
        else:
            valid_lens = valid_lens.reshape(-1)
        # 最后一轴上被掩蔽的元素使用一个非常大的负值替换，从而其softmax输出为0
        X = d2l.torch.sequence_mask(X.reshape(-1,shape[-1]),valid_lens,value=-1e6)
        return nn.functional.softmax(X.reshape(shape),dim=-1)

初始化两个 2×4 矩阵表示的样本， 这两个样本的有效长度分别为 2 和 3 ， 经过掩蔽softmax()操作，超出有效长度的值都被掩蔽为0。

#(2,2,4)中第一维2表示2个批量，第二维2表示有2个query，第三维4表示对4个keys的attention分数
masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3])) 

输出结果如下：
tensor([[[0.6196, 0.3804, 0.0000, 0.0000],
         [0.5610, 0.4390, 0.0000, 0.0000]],

        [[0.2868, 0.4283, 0.2849, 0.0000],
         [0.2864, 0.2380, 0.4755, 0.0000]]])

有效长度使用二维张量，为矩阵样本中的每一行指定有效长度。

masked_softmax(torch.rand(size=(2,2,4)),valid_lens=torch.tensor([[1,3],[2,4]]))

输出结果如下：
tensor([[[1.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
         [0.3764, 0.2470, 0.3766, 0.0000]],

        [[0.6565, 0.3435, 0.0000, 0.0000],
         [0.1777, 0.2994, 0.2769, 0.2460]]])

3. 加性注意力

一般来说，当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用加性注意力作为评分函数。给定查询$\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^q$和键$\mathbf{k}\in {\mathbb{R}}^k$，加性注意力（additive attention）的评分函数为：
$$a(\mathbf{q},\mathbf{k})={\mathbf{w}}_v^{\top }\text{tanh}({\mathbf{W}}_q\mathbf{q}+{\mathbf{W}}_k\mathbf{k})\in \mathbb{R},$$
其中可学习的参数是${\mathbf{W}}_q\in {\mathbb{R}}^{h\times q}$、${\mathbf{W}}_k\in {\mathbb{R}}^{h\times k}$和${\mathbf{w}}_v\in {\mathbb{R}}^h$。
将查询和键连结起来后输入到一个多层感知机（MLP）中，感知机包含一个隐藏层，其隐藏单元数是一个超参数$h$，通过使用$\tanh$作为激活函数，并且禁用偏置项。

class AdditiveAttention(nn.Module):
    """加性注意力"""
    def __init__(self,key_size,query_size,num_hiddens,dropout):
        super(AdditiveAttention,self).__init__()
        self.W_q = nn.Linear(query_size,num_hiddens,bias=False)
        self.W_k = nn.Linear(key_size,num_hiddens,bias=False)
        self.W_v = nn.Linear(num_hiddens,1,bias=False)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)
    def forward(self,queries,keys,values,valid_lens):
        queries = self.W_q(queries)
        keys = self.W_k(keys)
        # 在维度扩展后，
        # queries的形状：(batch_size，查询的个数，1，num_hidden)
        # key的形状：(batch_size，1，“键－值”对的个数，num_hiddens)
        # 使用广播方式进行求和
        features = queries.unsqueeze(2)+keys.unsqueeze(1)
        features = torch.tanh(features)
        # self.w_v仅有一个输出，因此从形状中移除最后那个维度。
        # scores的形状：(batch_size，查询的个数，“键-值”对的个数)
        scores = self.W_v(features)
        scores = scores.squeeze(-1)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores,valid_lens)
        # values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)
        #批量矩阵乘法
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights),values)

使用AdditiveAttention类， 其中查询、键和值的形状为（批量大小，步数或词元序列长度，特征大小）， 实际输出为 (2,1,20) 、 (2,10,2) 和 (2,10,4) 。 注意力汇聚输出的形状为（批量大小，查询的步数，值的维度）。

queries,keys = torch.normal(0,1,size=(2,1,20)),torch.ones(size=(2,10,2))
# values的小批量，两个值矩阵是相同的
values = torch.arange(40,dtype=torch.float32).reshape(1,10,4).repeat(2,1,1)
valid_lens = torch.tensor([2,6])
additiveAttention = AdditiveAttention(query_size=20,key_size=2,num_hiddens=8,dropout=0.1)
additiveAttention.eval() #eval状态下使dropout无效
additiveAttention(queries,keys,values,valid_lens)

输出如下所示：
tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],

        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]], grad_fn=<BmmBackward0>)

尽管加性注意力包含了可学习的参数，但由于本例子中每个键都是相同的， 所以注意力权重是均匀的，由指定的有效长度决定，如下图所示。

d2l.torch.show_heatmaps(additiveAttention.attention_weights.reshape(1,1,2,10),xlabel='keys',ylabel='queries')

4. 缩放点积注意力

使用点积可以得到计算效率更高的评分函数，但是点积操作要求查询和键具有相同的长度$d$。假设查询和键的所有元素都是独立的随机变量，并且都满足零均值和单位方差，那么两个向量的点积的均值为$0$，方差为$d$。为确保无论向量长度如何，点积的方差在不考虑向量长度的情况下仍然是$1$，需要将点积除以$\sqrt{d}$（除以$\sqrt{d}$也就是缩放的含义），因此缩放点积注意力（scaled dot-product attention）评分函数为：
$$a(\mathbf{q},\mathbf{k})={\mathbf{q}}^{\top }\mathbf{k}/\sqrt{d}.$$

在实践中通常从小批量的角度来考虑提高效率，例如基于$n$个查询和$m$个键－值对计算注意力，其中查询和键的长度为$d$，值的长度为$v$。查询$\mathbf{Q}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$、键$\mathbf{K}\in {\mathbb{R}}^{m\times d}$和值$\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{m\times v}$的缩放点积注意力是：

$$\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\frac{\mathbf{Q}{\mathbf{K}}^{\top }}{\sqrt{d}}\right)\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{n\times v}.$$

在缩放点积注意力的实现中，使用了暂退法进行模型正则化。

class DotProductAttention(nn.Module):
    """缩放点积注意力"""
    def __init__(self,dropout):
        super(DotProductAttention,self).__init__()
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)
    # queries的形状：(batch_size，查询的个数，d)
    # keys的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，d)
    # values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)
    # valid_lens的形状:(batch_size，)或者(batch_size，查询的个数)
    def forward(self,queries,keys,values,valid_lens):
        d = queries.shape[-1]
        # 设置transpose_b=True为了交换keys的最后两个维度
        #批量矩阵乘法
        scores = torch.bmm(queries,keys.transpose(1,2))/math.sqrt(d)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores,valid_lens)
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights),values)

使用DotProductAttention类， 使用与先前加性注意力例子中相同的键、值和有效长度。 对于点积操作，令查询的特征维度与键的特征维度大小相同。

queries = torch.normal(0,1,size=(2,1,2))
dotProductAttention = DotProductAttention(dropout=0.1)
dotProductAttention.eval() #eval状态下使dropout无效
dotProductAttention(queries,keys,values,valid_lens)

输出结果如下：
tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],

        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]])

与加性注意力演示相同，由于键包含的是相同的元素，因此获得了均匀的注意力权重。

d2l.torch.show_heatmaps(dotProductAttention.attention_weights.reshape(1,1,2,10),xlabel='keys',ylabel='querys')

5. 小结

• 将注意力汇聚的输出计算可以作为值的加权平均，选择不同的注意力评分函数会带来不同的注意力汇聚操作。
• 当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用可加性注意力评分函数。当它们的长度相同时，使用缩放的“点－积”注意力评分函数的计算效率更高。（缩放是指：query和keys点积后需要除以keys最后一维维度的平方）