数学建模算法与应用：预测模型（3）案例： SARS 疫情对经济指标影响

发布时间：2022-08-18 18:34

问题描述：

一、建模思路

二、对模型进行分析预测

2.1、对模型进行假设

三、建立灰色预测模型GM（1，1）

3.1、模型的求解（i）商品零售额

3.2、用MATLAB程序，实现（i）商品零售额

3.3、输出结果

3.4、模型的求解（ii）接待海外旅游人数

四、结果分析

问题描述：

2003年的 SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响．直接经济影响涉及到商品零售业、旅游业、综合服务等行业．很多方面难以进行定量地评估，现仅就 SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。

那么究竟 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知该市从1997年1月到2003年10月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如下表1、表2、表3。

表一：商品的零售额（单位：亿元）

年代	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
1997	83.0	79.8	78.1	85.1	86.6	88.2	90.3	86.7	93.3	92.5	90.9	96.9
1198	101.7	85.1	87.8	91.6	93.4	94.5	97.4	99.5	104.2	102.3	101.0	123.5
1999	92.2	114.0	93.3	101.0	103.5	105.2	109.5	109.2	109.6	111.2	121.7	131.3
2000	105.0	125.7	106.6	116.0	117.6	118.0	121.7	118.7	120.2	127.8	121.8	121.9
2001	139.3	129.5	122.5	124.5	135.7	130.8	138.7	133.7	136.8	138.9	129.6	133.7
2002	137.5	135.3	133.0	133.4	142.8	141.6	142.9	147.3	159.6	162.1	153.5	155.9
2003	163.2	159.7	158.4	145.2	124	144.1	157	162.6	171.8	180.7	173.5	176.5

表二：接待海外旅游人数（单位：万人）

年代	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
1997	9.4	11.3	16.8	19.8	20.3	18.8	20.9	24.9	24.7	24.3	19.4	18.6
1198	9.6	11.7	15.8	19.9	19.5	17.8	17.8	23.3	21.4	24.5	20.1	15.9
1999	10.1	12.9	17.7	21.0	21.0	20.4	21.9	25.8	29.3	29.8	23.6	16.5
2000	11.4	26.0	19.6	25.9	27.6	24.3	23.0	27.8	27.3	28.5	32.8	18.5
2001	11.5	26.4	20.4	26.1	28.9	28.0	25.2	30.8	28.7	28.1	22.2	20.7
2002	13.7	29.7	23.1	28.9	29.0	27.4	26.0	32.2	31.4	32.6	29.2	22.9
2003	15.4	17.1	23.5	11.6	1.78	2.61	8.8	16.2	20.1	24.9	26.5	21.8

表三：综合服务业累计数据（单位：亿元）

年代	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
1997	无	96	144	194	276	383	466	554	652	747	832	972
1198		111	169	235	400	459	565	695	805	881	1011	1139
1999		151	238	335	425	541	641	739	866	975	1087	1238
2000		164	263	376	531	600	711	913	1038	1173	1296	1497
2001		182	318	445	576	708	856	1000	1145	1292	1435	1667
2002		216	361	504	642	818	979	1142	1305	1479	1644	1920
2003		241	404	584	741	923	1114	1298	1492	1684	1885	2218

试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003年SARS疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。

一、建模思路

(1)、找到商品零售业、旅游业和综合服务业的历年的的基本水平，在没有疫情的情况下进行分析，在未来的某一年应该达到怎样的水平，再与实际的水平做一个比较，就得到具体的结论。

(2)、根据每年的某个月来预测2003年的某个月的数据，例用每年2月的数据来预测2003年2月的数据。

(3)、对每年的每个月的和进行预测，然后要预测某个月，把这个月的数据每年占总和的比例进行预测，然后用2003年的某个月的比例乘以总和就是这个月的数据。

二、对模型进行分析预测

根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律（所以我们按照第一种思路进行建模分析）。

这样可以把预测评估分成两部分：
1、利用灰色理论建立灰微分方程模型，由1997~2002年的平均值预测2003年平均值；
2、通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出 SARS 疫情实际造成的影响。

2.1、对模型进行假设

给出下面两条假设：

（1）假设该市的统计数据都是可靠准确的；
（2）假设该市在 SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与 SARS 疫情的影响有关，不考虑其他随机因素的影响。

三、建立灰色预测模型GM（1，1）

灰色模型GM（1，1）的详细介绍在我的专栏《MATLAB数学建模算法与应用》的预测模型(2)，有详细讲解和实例分析，这里就不在进行重复的介绍了。

3.1、模型的求解（i）商品零售额

问： $\alpha$ 为什么取0.4，不应该取0.5吗？

答：因为取0.5的话，不符合构建灰色预测模型的条件，取0.4则符合灰色预测模型的范围。

问： $z^{(1)}$ 数据是怎么求的呢？

答： $z^{(1)}$ 是 $x^{(1)}$ 的均值生成序列； $z^{(1)}(k)=\alpha x^{(1)}(k)+(1-\alpha )x^{(1)}(k-1),k=2,3,4...$

满足以上条件，具体的介绍在我的专栏《MATLAB数学建模算法与应用》的预测模型(2)中

3.2、用MATLAB程序，实现（i）商品零售额

代码如下所示：

han1=[83.0,79.8,78.1,85.1,86.6,88.2,90.3,86.7,93.3,92.5,90.9,96.9;
    101.7,85.1,87.8,91.6,93.4,94.5,97.4,99.5,104.2,102.3,101.0,123.5;
    92.2,114.0,93.3,101.0,103.5,105.2,109.5,109.2,109.6,111.2,121.7,131.3;
    105.0,125.7,106.6,116.0,117.6,118.0,121.7,118.7,120.2,127.8,121.8,121.9;
    139.3,129.5,122.5,124.5,135.7,130.8,138.7,133.7,136.8,138.9,129.6,133.7;
    137.5,135.3,133.0,133.4,142.8,141.6,142.9,147.3,159.6,162.1,153.5,155.9;
    163.2,159.7,158.4,145.2,124,144.1,157,162.6,171.8,180.7,173.5,176.5]
han1(end,:)=[];%相当于han1=han1(1:6:);
m=size(han1,2);%把月份提取出来
x0=mean(han1,2);%返回x矩阵每行的平均值，其中的2代表返回行
x1=cumsum(x0)%一次累加
alpha=0.4;n=length(x0);
z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)%求邻域生成数
Y=x0(2:n);B=[-z1,ones(n-1,1)];
ab=B\Y
k=6;
x7hat=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*(exp(-ab(1)*k)-exp(-ab(1)*(k-1)))
z=m*x7hat
u=sum(han1)/sum(sum(han1))  %sum(han1)是每一列的数据，sum(sum(han1))是每一列加每一行总的数据，相当于每一月的均值
v=z*u

3.3、输出结果

han1 =

  列 1 至 11

   83.0000   79.8000   78.1000   85.1000   86.6000   88.2000   90.3000   86.7000   93.3000   92.5000   90.9000
  101.7000   85.1000   87.8000   91.6000   93.4000   94.5000   97.4000   99.5000  104.2000  102.3000  101.0000
   92.2000  114.0000   93.3000  101.0000  103.5000  105.2000  109.5000  109.2000  109.6000  111.2000  121.7000
  105.0000  125.7000  106.6000  116.0000  117.6000  118.0000  121.7000  118.7000  120.2000  127.8000  121.8000
  139.3000  129.5000  122.5000  124.5000  135.7000  130.8000  138.7000  133.7000  136.8000  138.9000  129.6000
  137.5000  135.3000  133.0000  133.4000  142.8000  141.6000  142.9000  147.3000  159.6000  162.1000  153.5000
  163.2000  159.7000  158.4000  145.2000  124.0000  144.1000  157.0000  162.6000  171.8000  180.7000  173.5000

  列 12

   96.9000
  123.5000
  131.3000
  121.9000
  133.7000
  155.9000
  176.5000


x1 =

   87.6167
  186.1167
  294.5917
  413.0083
  545.8167
  691.2250


z1 =

  127.0167
  229.5067
  341.9583
  466.1317
  603.9800


ab =

   -0.0993
   85.5985


x7hat =

  162.8793


z =

   1.9546e+03


u =

  列 1 至 11

    0.0794    0.0807    0.0749    0.0786    0.0819    0.0818    0.0845    0.0838    0.0872    0.0886    0.0866

  列 12

    0.0920


v =

  列 1 至 11

  155.2152  157.7365  146.4023  153.5421  160.1400  159.8337  165.0649  163.7924  170.5317  173.1473  169.3064

  列 12

  179.8394