矩阵分解与应用(张贤达)day1

发布时间：2023-09-01 12:00

一、矩阵的基本运算

1、矩阵与向量

1.1、矩阵

由m $\times$ n个数 $a_{ij}$ （ = 1, 2 $\begin{matrix} & \end{matrix}$ , $\cdot \cdot \cdot$ , m; = 1, 2, $\cdot \cdot \cdot$ , n）排列成的m行n列的数表

称为m $\times$ n矩阵，记为A = $(a_{ij})_{m\times n}$ ，其中 $a_{ij}$ 称为矩阵A的第行第列的元素。

1.2、向量

行向量。在线性代数中，行向量是一个 1×m 的矩阵。

$a = \begin{pmatrix} {a_{1}},&{a_{2}},&{a_{3}},& {a_{4}} \end{pmatrix}$

列向量。在线性代数中，列向量是一个 n×1 的矩阵。

$b = \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\\ b_{4} \end{pmatrix}$

2、矩阵的基本运算

2.1、基本矩阵

主对角线：在一个n $\times$ n的正方矩阵A上，主对角线指从矩阵左上角到右下角沿， n想连接的线段。

交叉对角线：也称次对角线。从矩阵A右上角到左下角相连接的线段。次对角线垂直主对角线。

对角矩阵：主对角线以外的元素全部为零的n $\times$ n矩阵，记为

$D = diag({d_{11}}, {d_{22}}, ..., {d_{nn}})$

单位矩阵：对角矩阵的主对角线元素全为1，记为

${I_{n\times n}}$

零矩阵：矩阵中的元素都为零，则被称为零矩阵，记为

$^{O_{m\times n}}$

冥等矩阵：矩阵 $A_{n\times n}$ ，若 $A^{2} = AA = A$ ，则 $A_{n\times n}$ 为冥等矩阵

对合矩阵：矩阵 $A_{n\times n}$ ，若 $A^{2} = AA = I$ ，则 $A_{n\times n}$ 为对合矩阵

基本向量：只有一个元素为1，其于元素全为0的列向量被称为基本向量。如下

$e = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

矩阵的内积：矩阵与矩阵B的内积记作，定义为

$< A, B> = A^{H} B$

矩阵的指数：矩阵A的指数记为 $\exp (A)$ 或者 $e^{A}$ ，定义为

$\exp (A) = \sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}A^{k}$

矩阵的对数：矩阵A的对数记为 $\log ({I_{n}} - A)$ ，定义为

$\log (I_{n} - A) = -\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}A^{k}$

矩阵的导数：如果矩阵A的元素 $a_{ij}$ 都是参数t的函数，则矩阵的导数定义为

$\frac{dA}{dt} = A = \begin{bmatrix} \frac{da_{11}}{dt} & \frac{da_{12}}{dt}& ...& \frac{da_{1n}}{dt}\\ \frac{da_{21}}{dt}& \frac{da_{22}}{dt}& ...& \frac{da_{2n}}{dt}\\ ...& ...& & ...\\ \frac{da_{m1}}{dt}& \frac{da_{m2}}{dt}& ...& \frac{da_{mn}}{dt} \end{bmatrix}$

2.2、基本运算

矩阵加法：两个m $\times$ n的矩阵 $A=[a_{ij}]$ 与 $B=[b_{ij}]$ 的和记为。定义为： $[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

矩阵与标量相乘： $A=[a_{ij}]$ 是一个m $\times$ n的矩阵， $\alpha$ 为标量。乘积定义为： $[\alpha A]_{ij}=\alpha a_{ij}$

加法交换律：

加法结合律：

乘法结合律：若A为m $\times$ n的矩阵，B为n $\times$ p的矩阵，C为p $\times$ q的矩阵，则有

乘法左分配率：若A和B均为m $\times$ n的矩阵，C为n $\times$ p的矩阵，则有

乘法右分配律：若A为m $\times$ n的矩阵，B和C均为n $\times$ p的矩阵，则有

$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

$(A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}$ 。（注： $A^{H}$ 为共轭转置矩阵，又称为Hermitian伴随）

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

$(AB)^{H}=B^{H}A^{H}$

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

$(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$

$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

$(A^{H})^{-1}=(A^{-1})^{H}$

2.3、向量的线性相关性与非奇异矩阵

向量的线性表示：给定向量组 $A = (a_{1}, a_{2},a_{3}, ... a_{n})$ 以及向量，若存在一组数 $k_{1}, k_{2}, ..., k_{n}$ ，使得

$b = k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+ .. +k_{n}a_{n}$

则称向量可由向量组 A 线性表示，也称向量是向量组A 的一个线性组合， $k_{1}, k_{2}, ..., k_{n}$ 称为这个线性组合的系数。

线性相关：如果 $k_{1}, k_{2}, ..., k_{n}$ 不全为0，使得 $k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+ .. +k_{n}a_{n} = 0$ ，则向量组A是线性相关。 $r_{1}, r_{2}, ..., r_{m}$

线性无关关：如果 $k_{1}, k_{2}, ..., k_{n}$ 全为0，使得 $k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+ .. +k_{n}a_{n} = 0$ ，则向量组A为线性无关。

非奇异矩阵：一个n $\times$ n矩阵A是非奇异，当且仅当矩阵方程只有零解x=0。若A不是奇异的，则称A奇异。

定理：n $\times$ n矩阵 $A = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2}& ... & a_{n} \end{bmatrix}$ 是非奇异的，当且仅当它的n个列向量 $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ 线性无关。

2.4、初等行变换与阶梯型矩阵

初等运算：涉及矩阵行与行之间的简单运算。

初等运算：也称初等行变换。矩阵 $A _{m\times n}$ 的行向量分别为 $r_{1}, r_{2}, ...r_{m}$ 。

(1) 互换矩阵的任意两行，如 $r_{p\rightarrow }r_{q}$ ，称为型初等行变换。

(2) 一行元素同乘一个非零常数，如 $ar_{p}\rightarrow r_{q}$ ，称为 $\mathbb{I}$ 型初等行变换。

(3) 将第p行元素同乘一个非零常数 $\beta$ 后，加给第q行，即 $\beta r_{p} + r_{q} \rightarrow r_{q}$ ，称为型初等行变换。

矩阵等价：矩阵 $A_{m\times n}$ 经过一系列初等行运算，变换成矩阵 $B_{m\times n}$ ，则矩阵A和矩阵B等价。

阶梯型矩阵：矩阵 $A_{m\times n}$ ，若

(1) 全部由零组成的所有行都位于矩阵的底部。

(2) 每一个非零行的首项元素总是出现在上一个非零行的首项元素的右边。

(3) 首项元素下面的同列元素全部为零。

列如：如下阶梯矩阵

$A = \begin{bmatrix} 1 & * & *\\ 0& 3& *\\ 0& 0 & 0\\ 0& 0& 0 \end{bmatrix}$

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