前言

题目： Semi-supervised Graph Embedding for Multi-label Graph Node Classification
会议： International Conference on Web Information Systems Engineering 2019
论文地址：Semi-supervised Graph Embedding for Multi-label Graph Node Classification

之前的文章中有讲到GCN可以用作图的节点分类，并且给出了代码实现，具体可以参考：

1. ICLR 2017 | GCN：基于图卷积网络的半监督分类
2. PyG搭建GCN前的准备：了解PyG中的数据格式
3. PyG搭建GCN实现节点分类（GCNConv参数详解）

GCN通过图卷积层来集成节点、节点特征以及图拓扑关系来生成节点的状态向量，进而将其应用于节点分类等具体任务。对于简单的多标签分类任务来讲，GCN将图的特征矩阵经过多个图卷积层后得到每个节点的状态向量表示，然后再经过一个softmax函数来进行分类，最后再最小化softmax输出与真实标签的交叉熵损失。这种处理方式比较简单，但也容易丢失一些信息，如标签之间的相关性，从而无法得到较好的预测性能。

鉴于此，本文作者提出了新的基于GCN的半监督节点分类器：ML-GCN。具体来讲，ML-GCN首先使用GCN来嵌入节点特征和图形拓扑信息。然后随机生成一个标签矩阵，其中每一行(即标签向量)代表一种标签。标签向量的维数与GCN最后一次卷积操作前的节点向量维数相同。也就是说，所有的标签和节点都嵌入在一个统一的向量空间中。最后，在ML-GCN的模型训练过程中，将标签向量和节点向量连接起来作为skip-gram的输入，以检测节点-标签的相关性以及标签-标签的相关性。

值得注意的是，这篇论文提出的ML-GCN不是大家认为的由旷视研究院提出ML-GCN(基于图卷积网络的多标签图像识别模型)，不过二者的思想是一致的，都是对标签间的依赖性进行建模。

1. 回顾GCN

ML-GCN是基于GCN的，因此本文就先回忆一下GCN的具体处理过程，这部分内容在之前的文章中已经详细讲解过，具体请见：ICLR 2017 | GCN：基于图卷积网络的半监督分类。

1.1 GCN原理

给定一个无向图$G=(V,E,X,Y)$，其中$V=(V_l\cup V_u)$，$v_l$和$v_u$分别表示带标签的节点和不带标签的节点，$n=n_l+n_u$表示节点数目，在半监督学习中，一般不带标签的节点为大多数，我们的任务是推导出这些节点的标签；$E$为边集；$x\in R^{n\times d}$表示节点特征矩阵；标签矩阵$Y\in R^{n_l\times c}$一共$n_l$行，为01矩阵，$c$表示标签的总类别数；$A\in R^{n\times n}$为邻接矩阵；$D=diag(d_1,d_2,...,d_n)$为度矩阵。

因此，对称归一化拉普拉斯矩阵可以定义为：$L_{sym}=I-D^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}}$。

GCN每一层的操作可以定义为：
$$H^{(l+1)}=\sigma ({\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}}{H}^{(l)}{W}^{(l)})$$
其中$\tilde{A}=A+I$表示带自环的邻接矩阵，$I$为单位矩阵。$\tilde{D}$为加上自环后的度矩阵；$W^{(l)}$为层权重矩阵；$\sigma (\cdot )$为激活函数，比如ReLU；$H^{(0)}=X$，也就是节点特征矩阵；经过多层卷积后，我们得到了最终的$H^k$，$H^k$即GCN学到的节点的状态向量表示。

假设经过最后一层图卷积后得到了$H^{(l+1)}$，为了实现分类任务，我们可以加上一个sigmoid层：

这里$H^{(l+1)}\in R^{n\times c}$，每一行表示一个节点的各个标签的概率。最后，最小化结果与标签矩阵$Y$的交叉熵损失：

1.2 GCN的缺点

上述GCN模型简单易懂，但这种简单的模型可能存在一些问题：

1. 如果我们使用较少的层来构造GCN，那么最后一层维度与倒数第二层维度之间的差异可能会非常大，这可能会造成隐藏特征的丢失，使模型难以优化。例如Citeseer引文网络，它的输入特征维数为3703，标签数量为6，如果我们使用双层GCN，无论隐藏层维数的设置如何，我们都不能让维数平滑下降。
2. 如果我们简单地堆叠更多的层，该模型将混合来自不同标签的节点的特性，使它们难以区分。
3. 具有sigmoid层的多标签分类模型不能捕获标签关系，因为它单独处理每个标签。因此，它可能会丢失关于多标签图数据集的一些信息。

为了解决上述问题，本文提出了一个新的基于GCN的多标签节点分类模型ML-GCN。

2. ML-GCN

2.1 Skip-Gram

鉴于本文需要用到skip-gram的知识，因此这里简单回归一下。

假设窗口长度为w=2，单词序列为：$w1,w2,w3,w4,w5$，我们的目标是使得以下概率最大化：
$$P(w1,w2,w4,w5|w3)$$
我们假设预测间是相互独立的，即我们需要最大化：
$$P(w1|w3)P(w2|w3)P(w4|w3)P(w5|w3)$$
因此，假设上下文长度为$c$，中心词为$w_t$，那么上述优化目标可以被表示为：
$$\prod _{t=1}^T\prod _{-c\le j\le c,j\ne 0}P(w_{t+j}|w_t)$$
考虑到：如果一个概率较小，连乘后概率会非常小的问题，对上述概率进行对数处理：
$$\sum _{t=1}^T\sum _{-c\le j\le c,j\ne 0}logP(w_{t+j}|w_t)$$
其中$T$表示文本长度。

在skip-gram中，假设当前中心词为$c$，要预测的上下文词语为$w$，那么上述概率可以表示为：
$$P(w|c;\theta )=\frac{exp(u_w^T{v}_c)}{{\sum }_{i\in V}{u}_i^T{v}_c}$$
其中$u$和$v$可以理解为一开始初始化的两个参数矩阵，也就是参数$\theta$的组成部分，这两个矩阵的维度都为$R^{|V|\times d}$，也就是词库中每个单词的嵌入向量表示。其中矩阵$v$可以理解为中心词矩阵，矩阵$u$为上下文矩阵。简单来说，就是将中心词向量与所有上下文词向量的内积运算做softmax，进而得到某个特定上下文单词$w$出现的概率。

上述公式的内在逻辑为：如果两个单词越相似，那么它们的词向量就越相似，那么内积就越大，概率也就越大。最大化概率，也就是最大化中心词向量与其上下文词向量的相似性。

具体训练步骤：

1. 将所有单词进行one-hot编码，每个单词编码后的长度为$|V|$。
2. 将所有单词经过中心词矩阵$v$得到其长度为$d$的向量表示，即$R^{|V|\times d}$。
3. 初始化一个权重矩阵$u$，维度同样为$R^{|V|\times d}$，也就是前面提到的上下文矩阵。
4. 取出中心词的词向量$v_c\in R^{1\times d}$，然后与上下文矩阵中的所有向量做内积运算，这里也包括了单词$w$的向量，此时我们可以得到$V$个数字，然后进行softmax运算，以得到概率。
5. 对所有单词都求出其概率，然后概率之和最大化，利用梯度下降法反向更新上述两个矩阵。

2.2 ML-GCN思想

ML-GCN与GCN最大的不同在于其引入了一个标签嵌入矩阵$Z_Y\in R^{c\times l}$，即将每一个类的标签都表示为一个长度为$l$的向量。标签向量矩阵一开始是随机初始化的，这里的$l$与最后一次图卷积运算前的维度一致。假设最后一层卷积的输出为$H^{(l+1)}$，那么$H^{(l)}\in R^{n\times l}$。

下图给出了ML-GCN的具体框架：

由上图可知，原始图一共有7个节点，那么假设$X\in R^{7\times s}$，经过第一层卷积后，变成$R^{7\times 5}$，也就是上面提到的$H^{(l)}$，然后我们随机初始化$Z_Y\in R^{3\times 5}$，也就是一共三个类别。然后，利用$Z_Y$计算label-label损失，同时结合$H^{(l)}$计算node-label损失。最后，将$H^{(l)}$经过第二层卷积，得到最终的图卷积结果并计算交叉熵损失。

上面的描述只是一个大概的框架，接下来我们进行详细的说明。

考虑一个具有多个标签的节点，我们的目标是最大化给定节点的这些标签出现的概率，输入为节点向量和对应的标签向量。如果我们将一个节点及其标签视为一个句子，那么目标可以被描述为：给定一个中心单词（节点），进而预测临近单词（标签），这是skip-gram的基本思想，即：根据中心词以预测其上下文词语。例如，如下图所示：

节点$x_1$具有4个标签，我们可以将节点和标签都视为单词以生成一个句子，然后我们利用skip-gram进行计算。

现在将skip-gram引入到节点标签句子中：给定节点$x_i$及其标签$Y_{x_i}=y_1,y_2,...,y_c$，此时$x_i$的向量表示为$H^{(l)}$的第$i$行，$y_j$的标签向量为$z_{y_j}$，我们考虑节点$x_i$作为中心词，其标签作为上下文词语。由于各个标签间没有顺序关系，因此我们可以组成$c$个label-node对，即上图所示。

对于任意一个节点$x_i$，我们通过最大化以下函数来优化节点及其标签嵌入：

即最大化节点与其标签共现的对数概率。

经过上述处理后，我们可以在特征维降至标签类之前更好地在高维空间捕获node-label相关性。

参考上述思想，我们可以捕获label-label相关性。具体来讲，给定节点$x_i$及其标签$Y_{x_i}=y_1,y_2,...,y_c$，不同于前面最大化节点与标签共现的概率，在这里我们最大化标签与标签之间共现的概率，即：

对于某一个节点来说，如果该节点只有一个label，那么我们只考虑计算node-label相关性，如果该节点有多个label，那么我们可以同时考虑node-label相关性和label-label相关性。

2.3 协同优化和负采样

如果标签类数过多，上述计算将变得十分复杂，因此可以考虑使用负采样。

对于nodel-label相关性，我们可以考虑将其从：

变为：

这里$K$为超参数，即需要采样的node-label个数。

对于label-label相关性，同样可以变为：

因此，ML-GCN的整体流程可以描述如下：

假设一共需要训练$n$轮，对其中每一轮：

1. 将节点的特征向量矩阵经过多个GCNConv层，以得到最终的状态向量表示$H^{(l+1)}$。
2. 将$H^{(l+1)}$经过一个sigmoid函数，再与标签计算交叉熵损失。
3. 计算经过负采样后的node-label损失。
4. 计算经过负采样后的label-label损失。
5. 将三个损失进行加权，然后利用Adam优化加权损失。

3. 实验

数据集：

实验结果：

其中，Partly ML-GCN为只计算node-label损失的ML-GCN。可以发现，ML-GCN效果是最好。