线性回归与梯度下降算法

线性回归与梯度下降算法

1.1 线性回归

概念：在统计学中，线性回归(Linear Regression)是利用称为线性回归方程的最小平方函数对一个或多个 自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。

一元线性回归分析：只包括一个自变量和一个因变量，二者关系能用一条直线近似表示（两个及以上的自变量，且因与自变量成线性：多元线性回归分析）

例如：

​ 房价（因变量）与面积（自变量）根据一些数据集，可以通过画回归方程图像得到线性方程：

​

若再添加一个自变量房间数：分析得到的线性方程：

因此一元线性方程还是多元线性方程可以统一写成

上式中x0=1，而求线性方程则演变成了求方程的参数ΘT。

线性回归假设特征和结果满足线性关系。其实线性关系的表达能力非常强大，每个特征对结果的影响强弱可以有前面的参数体现，而且每个特征变量可以首先映射到一个函数，然后再参与线性计算，这样就可以表达特征与结果之间的非线性关系。

1.2 梯度下降算法

为了得到目标线性方程，确定以及判断公式（3）中ΘT效果好坏使用一个损失函数(loss function)或错误函数(error function)评估h(x)函数的好坏。错误函数如公式(4)。

最小二乘法(min square)和梯度下降法可以调整ΘT以使得J(Θ)取得最小值。

1.2.1 批量梯度下降算法

求ΘT演变成了求J(Θ)的极小值，使用梯度下降法。梯度下降法中的梯度方向由J(Θ)对Θ的偏导数确定，由于求的是极小值，因此梯度方向是偏导数的反方向。

公式(5)中α为学习速率，当α过大时，有可能越过最小值，而α当过小时，容易造成迭代次数较多，收敛速度较慢。假如数据集中只有一条样本，那么样本数量很小，所以公式(5)中

即公式(5)演变成：

当样本数量m不为1时，将公式(5)中由公式(4)带入求偏导，那么每个参数沿梯度方向的变化值由公式(7)求得。

初始时ΘT可设为，然后迭代使用公式(7)计算ΘT中的每个参数，直至收敛为止。由于每次迭代计算ΘT时，都使用了整个样本集，因此我们称该梯度下降算法为批量梯度下降算法(batch gradient descent)。

1.2.2 随机梯度下降算法

当样本集数据量m很大时，批量梯度下降算法每迭代一次的复杂度为O(mn),复杂度很高。因此，为了减少复杂度，当m很大时，我们更多时候使用随机梯度下降算法(stochastic gradient descent),算法如下所示：

每读取一条样本，就迭代对ΘT更新，然后判断其是否收敛，若没收敛，则继续读取样本进行处理，如果所有样本都读取完毕了，则循环重新从头开始读取样本进行处理。

这样迭代一次的算法复杂度为O(n)。对于大数据集，很有可能只需读取一小部分数据，函数J(Θ)就收敛了。比如样本集数据量为100万，有可能读取几千条或几万条时，函数就达到了收敛值。所以当数据量很大时，更倾向于选择随机梯度下降算法。

但是，相较于批量梯度下降算法而言，随机梯度下降算法使得J(Θ)趋近于最小值的速度更快，但是有可能造成永远不可能收敛于最小值，有可能一直会在最小值周围震荡，但是实践中，大部分值都能够接近于最小值，效果也都还不错。

1.2.3 算法收敛判断方法

• 参数ΘT的变化距离为0，或者说变化距离小于某一阈值（ΘT中每个参数的变化绝对值都小于一个阈值）。为减少计算复杂度，该方法更为推荐使用。
• J(Θ)不再变化，或者说变化程度小于某一阈值。计算复杂度较高，但是如果为了精确程度，那么该方法更为推荐使用。