【老生谈算法】matlab卡尔曼滤波算法——卡尔曼滤波算法

卡尔曼滤波简介及其算法MATLAB实现代码

1、原文下载：

本算法原文如下，有需要的朋友可以点击进行下载

2、算法详解：

为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。

在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟 k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。

由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的 covariance来判断。因为Kg²⁼⁵2/(5²⁺⁴2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78* (25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入 k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5²⁾0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。

就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！

下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。

3． 卡尔曼滤波器算法
（The Kalman Filter Algorithm）
在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。

首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H 是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ………… (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式 (2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的 covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。

卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。
下面，我会用程序举一个实际运行的例子。。。

4． 简单例子
（A Simple Example）
这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。

根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ………… (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。

为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了 X(0|0)=1度，P(0|0)=10。

该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。

最佳线性滤波理论起源于 40 年代美国科学家 Wiener 和前苏联科学家Ｋ олмогоров 等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点， 60 年代 Kalman 把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。

现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为：
X(k) = F(k,k-1)·X(k-1)+T(k,k-1)·U(k-1)

Y(k) = H(k)·X(k)+N(k)
其中

X(k)和Y(k)分别是k时刻的状态矢量和观测矢量
F(k,k-1)为状态转移矩阵
U(k)为k时刻动态噪声
T(k,k-1)为系统控制矩阵
H(k)为k时刻观测矩阵
N(k)为k时刻观测噪声
则卡尔曼滤波的算法流程为：

预估计X(k)^= F(k,k-1)·X(k-1)

1. 计算预估计协方差矩阵
   C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)‘+T(k,k-1)×Q(k)×T(k,k-1)’
   Q(k) = U(k)×U(k)’
2. 计算卡尔曼增益矩阵
   K(k) = C(k)^{×H(k)'×[H(k)×C(k)}×H(k)‘+R(k)]^(-1)
   R(k) = N(k)×N(k)’
3. 更新估计
   X(k)~=X(k)^{+K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)}]
4. 计算更新后估计协防差矩阵
   C(k)~ = [I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[I-K(k)×H(k)]‘+K(k)×R(k)×K(k)’
5. X(k+1) = X(k)~
   C(k+1) = C(k)~
   重复以上步骤

■ 1 应用实例
一个简单的应用是估计物体的位置和速度；简要描述如下：假设我们可以获取一个物体的包含噪声的一系列位置观测数据，我们可以获得此物体的精确速度和位置连续更新信息。

例如，对于雷达来说，我们关心的是跟踪目标，而目标的位置，速度，加速度的测量值是时刻含有误差的，卡尔曼滤波器利用目标的动态信息，去掉噪声影响，获取目标此刻好的位置估计(滤波)，将来位置估计(预测)，也可以是过去位置估计的(插值或平滑)

■ 2 命名和发展历史
这个滤波器以它的发明者Rudolf.E.Kalman 而命名，但是在Kanlman之前，Thorvald Nicolai Thiele和Peter Swerling 已经提出了类似的算法。Stanley Schmidt 首次实现了Kalman滤波器。在一次对NASA Ames Research Center访问中，卡尔曼发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨迹预测很有用，后来阿波罗飞船导航 电脑就使用了这种滤波器。这个滤波器可以追溯到Swerling(1958),Kalman(1960),Kalman和Bucy(1961)发表的论文。

这个滤波器有时叫做Stratonovich-Kalman-Bucy滤波器。因为更为一般的非线性滤波器最初由Ruslan L.Stratonovich发明，而Stratonovich-Kalman-Bucy滤波器只是非线性滤波器的一个特例。事实上，1960年夏季，Kalman和Stratonovich在一个Moscow召开的会议中相遇，而作为非线性特例的线性滤波方程，早已经由Stratonovich在此以前发表了。

在控制领域，Kalman滤波被称为线性二次型估计，目前,卡尔曼滤波已经有很多不同的实现，有施密特扩展滤波器、信息滤波器以及一系列的Bierman和Thornton 发明的平方根滤波器等，而卡尔曼最初提出的形式现在称为简单卡尔曼滤波器。也许最常见的卡尔曼滤波器应用是锁相环，它在收音机、计算机和几乎全部视频或通讯设备中广泛存在。

■ 3 基本动态系统模型
Kalman滤波基于时域描述的线性动态系统，它的模型是Markov Chain，而Markov Chain建立在一个被高斯噪声干扰的线性算子之上。系统的状态可以用一个元素为实数的向量表示。随着离散时间的增加，这个线性算子就会作用到当前状态之上，产生一个新的状态，并且会带入一定的噪声，同时一些已知的控制信息也会加入。同时另外一个受噪声干扰的线性算子将产生这些隐含状态的可见输出。Kalman滤波可以被看作为类似隐马尔科夫模型，它们的显著不同点在于：隐状态变量的取值空间是一个连续的空间，而离散状态空间则不是；另为，隐马尔科夫模型可以描述下一个状态的一个任意分布，这也与应用于Kalman滤波器中的高斯噪声模型相反。Kalman滤波器方程和隐马尔科夫方程之间有很大的二重性，关于Kalman滤波方程和隐马尔科夫方程之间二重性参看Roweis and Ghahramani(1999)[4]。

为了从一系列的噪声观测中，应用Kalman滤波估计观测过程的内部状态。我们必须把这个过程在Kalman滤波器的框架下建立模型，这就意味着，对于
每一步k 我们要定义矩阵、、、、如下：
Kalman Filter假设k时刻的真实状态是从k-1时刻演化而来，符合下式
这里
■ 是作用在前一状态的状态转移模型(状态转移矩阵)
■ 是作用在控制向量上的控制输入模型(输入输出矩阵)
■是过程噪声，假设是均值为0的白噪声，协方差为则：
在k时刻，假设真实状态的观测，满足如下公式：

其中是观测模型(观测矩阵)，它把真实状态映射到观测空间，是观测噪声，假设它是均值是0，方差是的高斯白噪声：
Kalman Filter基本动态系统模型如图(1)所示，圆圈代表向量，方块代表矩阵，星号代表高斯噪声，其协方差在右下方标出。

初始状态以及每一时刻的噪声向量{x0, w1, …, wk, v1 … vk}都为认为是互相独立的。实际中，真实世界中动态系统并不是严格的符合此模型。但是Kalman模型是设计在噪声过程工作的，一个近似的符合已经可以使这个滤波器非常有用了，更多复杂模型关于Kalman Filter模型的变种，将在下述中讨论：

图(1)

■ 4 卡尔曼滤波器
Kalman Filter是一个递归的估计，即只要获知上一时刻的状态估计和当前状态的观测就可以计算出当前状态的估计，不同于其他的估计技术，Kalman滤波器不需要观测或/和估计的历史记录，Kalman Filter是一个纯粹的时域滤波器，而不像低通滤波器等频域滤波器那样，需要在频域中设计，然后转换到时域中应用。
下面，代表已知从m到n-1包括m时刻的观测在n时刻的估计值
卡尔曼滤波器的状态由以下两个变量表示：
■已知k时刻以前时刻观测值，k时刻的状态估计值
■误差协方差矩阵，度量状态估计的精度程度
Kalman滤波包括两个阶段：预测和更新；在估计阶段，滤波器应用上一状态的估计做出对当前状态的估计。在更新阶段，滤波器利用在当前状态的观测值优化预测阶段的预测值，以获的一个更精确的当前状态的估计。

4.1 预测

4.2 更新

使用上述公式计算仅在最优卡尔曼增益的时候有效。使用其他增益公式要复杂一些，看见推导

4.3 不变量
如果模型准确，和值将准确反映最初状态的分布，那么下面所有不变量保持不变，所有估计的误差均值为0：

■ 5 实例
考虑在一个无摩擦、无限长的直轨道上的一辆小车，它的初始位置在0点，但是它会随机的受到冲击作用，我们每隔测量一次小车的位置，但是这些测量数据不是很精确。我们想建立一个关于小车位置和速度的模型，这里我们描述如何建立这个模型，以及从这个模型出发如何推导出Kalman滤波器。

因为小车没有控制输入，我们可以忽略和。由于F，H，R和Q全是恒值，我们可以忽略时间下标。
小车的位置和速度用线性空间可以描述如下：

■ 6 推导
6.1 后验估计协方差矩阵推导

6.2 Kalman增益推导

6.3 后验误差协方差矩阵简化

■ 7 信息滤波

■ 8 非线性滤波器
8.1扩展Kalman滤波
　　估计过程
如以上所述，卡尔曼滤波器估计一个线性随机差分方程描述的离散时间过程的状态变量，但是如果被估计的过程和(或)观测变量与过程的关系不时线性关系。那该如何处理呢？一些很有趣和成功的Kalman滤波器应用就是处理这些情况的。将期望和方差线性化的卡尔曼滤波器称作扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter），简称EKF。
同泰勒级数类似，面对非线性关系时，我们可以通过求过程和量测方程的偏导来线性化并计算当前估计，为了实现这个目的，我们必须修改上面的一些描述，我们假设过程仍具有状态向量，但其状态方程已变为非线性随机差分方程的形式。

观测变量为：

这里随机变量和分别为过程噪声和观测噪声。差分方程式(1.1)中的非线性函数f将过去k-1时刻状态与现在k时刻状态联系起来。在测量方程(2.2)中，输入函数uk和零均值过程噪声wk是它的参数。非线性函数h反映了状态变量xk和观测变量zk的关系。

实际中我们并不知道每一时刻噪声wk和vk各自真实值，但是我们可以在假设他们不存在的前提下，近似估计状态向量和测量向量：

这里是相对于前一时刻k的后验状态估计。

有一点非常重要，那就是扩展卡尔曼滤波器的一个基本缺陷：离散随机变量的分布(或连续随机变量的密度)在经过非线性系统转化后不再是正态的了。扩展卡尔曼滤波器其实就是一个通过线性化而达到渐进最优贝叶斯决策的特殊状态估计器。[Julier96]中描述了一项有趣的研究，Julier设计了扩展卡尔曼滤波器的一种变体，使得通过非线性转换后的随机变量仍具有正态分布特性。

滤波器的计算原型
为了估计一个具有非线性差分和量测关系的过程，我们先给出式1.3和式1.4的一个新的线性化表示：