线性SVM决策过程的可视化

使用sklearn中的式子来可视化决策边界，支持向量，以及决策边界平行的两个超平面。

1. 导入需要的模块

from sklearn.datasets import make_blobs #导入创造数据集的包
from sklearn.svm import SVC     #支持向量机分类器
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

2. 实例化数据集，可视化数据集

X,y = make_blobs(n_samples=50, centers=2, random_state=0,cluster_std=0.6)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plt.xticks([]) #隐藏X轴刻度
plt.yticks([]) #隐藏Y轴刻度
plt.show()

3. 绘制决策边界
画决策边界：理解函数contour
matplotlib.axes.Axes.contour([X, Y,] Z, [levels], **kwargs)
Contour是专门用来绘制等高线的函数。等高线，本质上是在二维图像上表现三维图像的一种形式，其中两维X和Y是两条坐标轴上的取值，而Z表示高度。Contour就是将由X和Y构成平面上的所有点中，高度一致的点连接成线段的函数，在同一条等高线上的点一定具有相同的Z值。我们可以利用这个性质来绘制我们的决策边界。
参数含义:
X，Y
选填。两维平面上所有的点的横纵坐标取值，一般要求是二维结构并且形状需要与Z相同，往往通过numpy.meshgrid()这样的函数来创建。如果X和Y都是一维，则Z的结构必须为(len(Y), len(X))。如果不填写，则默认X = range(Z.shape[1])，Y =range(Z.shape[0])。
Z
必填。平面上所有的点所对应的高度。
levels
可不填，不填默认显示所有的等高线，填写用于确定等高线的数量和位置。如果填写整数n，则显示n个数据区间，即绘制n+1条等高线。水平高度自动选择。如果填写的是数组或列表，则在指定的高度级别绘制等高线。列表或数组中的值必须按递增顺序排列。
回忆一下，我们的决策边界是，并在决策边界的两边找出两个超平面，使得超平面到决策边界的相对距离为1。那其实，我们只需要在我们的样本构成的平面上，把所有到决策边界的距离为0的点相连，就是我们的决策边界，而把所有到决策边界的相对距离为1的点相连，就是我们的两个平行于决策边界的超平面了。此时，我们的Z就是平面上的任意点到达超平面的距离。
那首先，我们需要获取样本构成的平面，作为一个对象。

#绘制原数据集散点图
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
ax = plt.gca() #获取当前的子图，如果不存在，则创建新的子图

有了这个平面，我们需要在平面上制作一个足够细的网格，来代表我们“平面上的所有点”。
画决策边界：制作网格，理解函数meshgrid

#获取平面上两条坐标轴的最大值和最小值
xlim = ax.get_xlim()
ylim = ax.get_ylim()
#在最大值和最小值之间形成30个规律的数据
axisx = np.linspace(xlim[0],xlim[1],30)
axisy = np.linspace(ylim[0],ylim[1],30)
axisx,axisy = np.meshgrid(axisx,axisy)
#我们将使用这里形成的二维数组作为我们contour函数中的X和Y
#使用meshgrid函数将两个一维向量转换为特征矩阵
#核心是将两个特征向量广播，以便获取y.shape * x.shape这么多个坐标点的横坐标和纵坐标
xy = np.vstack([axisx.ravel(), axisy.ravel()]).T
#其中ravel()是降维函数，vstack能够将多个结构一致的一维数组按行堆叠起来
#xy就是已经形成的网格，它是遍布在整个画布上的密集的点
plt.scatter(xy[:,0],xy[:,1],s=1);

理解函数meshgrid和vstack的作用:

#理解函数meshgrid和vstack的作用
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([7,8])
#两两组合，会得到多少个坐标？
#答案是6个，分别是 (1,7),(2,7),(3,7),(1,8),(2,8),(3,8)
v1,v2 = np.meshgrid(a,b)
v = np.vstack([v1.ravel(), v2.ravel()]).T

v1

array([[1, 2, 3],
       [1, 2, 3]])

v2

array([[7, 7, 7],
       [8, 8, 8]])

v

array([[1, 7],
       [2, 7],
       [3, 7],
       [1, 8],
       [2, 8],
       [3, 8]])

有了网格后，我们需要计算网格所代表的“平面上所有的点”到我们的决策边界的距离。所以我们需要我们的模型和决策边界。
建模，计算决策边界并找出网格上每个点到决策边界的距离:

#建模，通过fit计算出对应的决策边界
clf = SVC(kernel = "linear").fit(X,y)
Z = clf.decision_function(xy).reshape(axisx.shape)
#重要接口decision_function，返回每个输入的样本所对应的到决策边界的距离
#然后再将这个距离转换为axisx的结构，这是由于画图的函数contour要求Z的结构必须与X和Y保持一致
#画决策边界和平行于决策边界的超平面
ax = plt.gca() #获取当前子图
ax.contour(axisx,axisy,Z
	,colors="k"
	,levels=[-1,0,1] #画三条等高线，分别是Z为-1，Z为0和Z为1的三条线
	,alpha=0.5
	,linestyles=["--","-","--"])z
ax.set_xlim(xlim)
ax.set_ylim(ylim)
plt.show()

记得Z的本质么？是输入的样本到决策边界的距离，而contour函数中的level其实是输入了这个距离，现在让我们找一个点来试试：

#以第10号样本为例
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plt.scatter(X[10,0],X[10,1],c="black",s=100);

#计算第10号样本到决策边界的距离
clf.decision_function(X[10].reshape(1,2))

array([-3.33917354])

#绘制决策边界
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plt.scatter(X[10,0],X[10,1],c="black",s=100)
ax = plt.gca()
ax.contour(axisx,axisy,Z
            ,colors="k"
            ,levels=[-3.33917354]
            ,alpha=0.5
            ,linestyles=["--"]);

4、将绘图过程包装成函数

#定义SVC可视化函数
def plot_svc_decision_function(model,ax=None):
    if ax is None:
        ax = plt.gca()
    xlim = ax.get_xlim()
    ylim = ax.get_ylim()
    x = np.linspace(xlim[0],xlim[1],30)
    y = np.linspace(ylim[0],ylim[1],30)
    Y,X = np.meshgrid(y,x)
    xy = np.vstack([X.ravel(), Y.ravel()]).T
    P = model.decision_function(xy).reshape(X.shape)
    ax.contour(X, Y, P,colors="k",levels=[-1,0,1],alpha=0.5
               ,linestyles=["--","-","--"])
    ax.set_xlim(xlim)
    ax.set_ylim(ylim)
    plt.show()

则整个绘图过程可以写作：

#SVC绘图
clf = SVC(kernel = "linear").fit(X,y)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plot_svc_decision_function(clf)

5、探索建好的模型

clf.predict(X)
#根据决策边界，对X中的样本进行分类，返回的结构为n_samples

array([1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1,
       1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1,
       0, 1, 1, 0, 1, 0])

clf.score(X,y)
#返回给定测试数据和标签的平均准确度

1.0

clf.support_vectors_
#返回支持向量

array([[0.44359863, 3.11530945],
       [2.33812285, 3.43116792],
       [2.06156753, 1.96918596]])

clf.n_support_
#返回每个类中支持向量的个数

array([2, 1])

6、推广到非线性情况
我们之前所讲解的原理，以及绘图的过程，都是基于数据本身是线性可分的情况。如果把数据推广到非线性数据，比如说环形数据上呢？

from sklearn.datasets import make_circles
#创建环形数据
X,y = make_circles(100, factor=0.1, noise=.1, random_state=10)
#绘制可视化图形
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow");

试试看用我们已经定义的函数来划分这个数据的决策边界：

clf = SVC(kernel = "linear").fit(X,y)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plot_svc_decision_function(clf)

明显，现在线性SVM已经不适合于我们的状况了，我们无法找出一条直线来划分我们的数据集，让直线的两边分别是两种类别。这个时候，如果我们能够在原本的X和y的基础上，添加一个维度r，变成三维，我们可视化这个数据，来看看添加维度让我们的数据如何变化。
7. 为非线性数据增加维度并绘制3D图像

from mpl_toolkits import mplot3d #导入3D绘图包
#定义一个由x计算出来的新维度r
r = np.exp(-(X**2).sum(1))
#定义一个绘制三维图像的函数
#elev表示上下旋转的角度
#azim表示平行旋转的角度
def plot_3D(elev=30,azim=30,X=X,y=y):
ax = plt.subplot(projection="3d")
ax.scatter3D(X[:,0],X[:,1],r,c=y,s=50,cmap='rainbow')
ax.view_init(elev=elev,azim=azim)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")
ax.set_zlabel("r")
plt.show()
#测试函数运行结果
plot_3D()

可以看见，此时此刻我们的数据明显是线性可分的了：我们可以使用一个平面来将数据完全分开，并使平面的上方的所有数据点为一类，平面下方的所有数据点为另一类。
此时我们的数据在三维空间中，我们的超平面就是一个二维平面。明显我们可以用一个平面将两类数据隔开，这个平面就是我们的决策边界了。我们刚才做的，计算r，并将r作为数据的第三维度来将数据升维的过程，被称为“核变换”，即是将数据投影到高维空间中，以寻找能够将数据完美分割的超平面，即是说寻找能够让数据线性可分的高维空间。为了详细解释这个过程，我们需要引入SVM中的核心概念：核函数。